Общий вид уравнения Риккати: \begin{equation}\label{17} y' = P(x)y^{2} + Q(x)y + R(x). \tag{17} \end{equation}
Функции \(P(x)\), \(Q(x)\) и \(R(x)\) непрерывны в промежутке \((\alpha, \beta).\)
Если \(P(x) \equiv 0\), то уравнение является линейным неоднородным.
Если \(R(t) \equiv 0\), то уравнение является уравнением Бернулли с \(n = 2.\)
Уравнение Риккати в общем случае не интегрируется в квадратурах. Если известно частное решение уравнения, то интегрирование в квадратурах выполнимо.
Пусть \(y = y_{1}(x)\) — частное решение уравнения (\ref{17}), т.е. \[\frac{dy_{1}}{dt} = Py_{1}^{2} + Qy_{1} + R\].
Введем новую искомую функцию \(z\) по формуле: \[y = z + y_{1},\]
Подставляем в уравнение: \[\frac{dz}{dt} + \frac{dy_{1}}{dt} = Pz^{2} + 2Py_{1}z + Py_{1}^{2} + Qz + Qy_{1} + R\] \[\frac{dz}{dt} = (2Py_{1} + Q)z + Pz^{2},\] это уравнение Бернулли с \(n = 2.\)
Если известны два частных решения уравнения (\ref{17}), то его общее решение находится одной квадратурой, а при трех известных решениях квадратуры вообще не понадобятся.
См. \(\textbf {Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.}\) 5-е изд. — М.: Наука, 1950. — 460 с.