ОДУ первого порядка, не разрешенное относительно производной: \begin{equation}\label{1} F(x, y, y')=0, \end{equation} здесь \(y\) \(-\) искомая функция аргумента \(x\), а \(F\) \(-\) известная функция от трех аргументов. Во многих случаях решение таких уравнений приходится представлять в неявном или параметрическом виде. Под решением уравнения (\ref{1}) в неявной форме понимается решение, определяемое уравнением \begin{equation}\label{2} \Psi (x, y)=0, \end{equation} которое задает \(y\) как неявную функцию от \(x\) . Будем пользоваться теоремой о существовании неявной функции из курса МА.
Если функция \(\Phi(x, y)\) непрерывна вместе с частными производными первого порядка в некоторой окрестности точки \(M_0(x_0,y_0)\) и
\[\Phi(x_0, y_0)=0,\hspace{0.5cm}\Phi'_y(x_0, y_0)\neq0,\]
то существует такая окрестность точки \(x_0\), в которой
уравнение \(\Phi(x, y)=0\) определяет \(y\) как
однозначную функцию от \(x\): \(y=y(x)\) обладающую следующими свойствами:
\( 1) y(x) \) непрерывна вместе со своей производной \(y'(x)\);
\( 2) y(x_0)=y_0\) .
Уравнение \(y^5y'+x^5=0\) имеет решение, определенное в интервале \( -1 < x < 1\), заданное в неявной форме \begin{equation}\label{3} y^6+x^6-1=0. \end{equation} Возьмем в качестве точки \(M_0(x_0,y_0)\) точку \(M_0(0,1)\). Тогда функция \(\Psi (x, y)=y^6+x^6-1\) в любой окрестности точки \(M_0(0,1)\) непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка. Кроме того, \(\Psi (0, 1)=0\), \(\Psi'_y(0,1)=6 \neq 0\), Следовательно, согласно теореме существует окрестность точки \(x_0=0\), в которой уравнение (\ref{3}) определяет непрерывно дифференцируемую функцию \(y=y(x)\), \( y(0)=1\). В данном случае окрестность можно найти, разрешив (\ref{3}) относительно \(y\): \begin{equation}\label{4} y=\sqrt[6]{1-x^6}. \end{equation} Проверить, что (\ref{4}) есть решение, можно непосредственной подстановкой.
Функция, заданная параметрически, \begin{equation}\label{5} x=x(t),\hspace{1cm} y=y(t), \hspace{1cm} t_0 < t < t_1, \end{equation} называется решением уравнения (\ref{1}) на интервале \((t_0,t_1)\) в параметрической форме, если для всех \(t \in(t_0,t_1)\) выполняется тождество \begin{equation}\label{6} F \begin{bmatrix} x(t), y(t), \frac{y'(t)}{x'(t)}\end{bmatrix} \equiv0, \end{equation} причем \[x'(t)\neq0, t \in(t_0,t_1).\]
Рассмотрим уравнение (\ref{1}) \[F(x, y, y')=0.\] Будем предполагать, что функция \(F(x, y, p)=0\) вещественна и непрерывно дифференцируема в некоторой области \(D\) пространства \((x, y, p)\). Далее \((x, y, p)\in D\). Уравнение \(F(x, y, p)=0\) определяет некоторую поверхность \(S\) в трехмерном пространстве. Для того, чтобы выделить единственное решение (\ref{1}), недостаточно задать \(y(x_0)=y_0\). Если \((x_0,y_0)\) задано, то из \[F(x_0, y_0, y'(x_0))=0\] определяется одно или несколько значений \(y'(x_0).\)
Уравнение \(y'^2=1\) имеет два семейства решений \(y=x+C\) и \(y=-x+C\). Через каждую точку плоскости проходят ровно две интегральные кривые.
Задача Коши: найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям \[y(x_0)=y_0,\hspace{1cm}y'(x_0)=p_0,\] где \(x_0\), \(y_0\), \(p_0\) удовлетворяют \(F(x_0, y_0, p_0)=0\).
Пусть выполнено условие \[F'_p(x_0, y_0, p_0)\neq 0.\] Тогда решение задачи Коши существует и единственно на некотором интервале \((x_0-\delta, x_0+\delta)\).
В силу теоремы о неявной функции из уравнения \(F(x, y, p)=0\) можно локально выразить \[p=\varphi(x,y),\] где \(\varphi\) единственна, непрерывно дифференцируема в окрестности точки \((x_0,y_0)\) и \(p_0=\varphi(x_0,y_0)\).Значит получена задача Коши \[y'=\varphi(x,y),\hspace{1cm} y(x_0)=y_0,\] существование и единственность которой установлены в основной теореме.\[\] \(\textbf{Теорема доказана.}\)
Множество точек на \(S\), в которых условие теоремы нарушено задается уравнениями \[F(x, y, p)=0, \hspace{1cm} F'_p(x, y, p)=0.\] Если из системы исключить \(p\), то получим \( \textbf{дискриминантную кривую}\) \[D(x,y)=0,\] Ветви данной кривой могут быть решениями уравнения (\ref{1})
В противном случае \(-\) точка называется особой.
Решение, все точки которого особые называется особым решением.
Уравнение \[y'=\frac{2}{3}y^{2/3}.\] имеет особое решение \(y \equiv 0\).
Для уравнения \(F(x, y, p)=0\) точка \((x_0, y_0, p_0)\) называется неособой, если существует её окрестность \(U\) ( теперь на поверхности \(S\)) такая, что через каждую точку данной окрестности проходит интегральная кривая и притом только одна; в противном случае эта точка \(-\) особая.
\( \textbf{Вывод.}\) Из приведенной теоремы следует, что все особые точки уравнения \(F(x, y, p)=0\) лежат на дискриминантной кривой и что особыми решениями могут быть только ветви дискриминантной кривой.
Рассмотрим семейство кривых на плоскости, заданное уравнением \begin{equation}\label{7} f(x, y,C)=0, \end{equation} где \(C\) \(-\) параметр
Далее предполагаем, что \(f\) вещественна и непрерывно дифференцируема в некоторой области \(D\) пространства \((x,y,C)\) и \(f_C \neq0\). И рассматриваем все в малой окрестности \(U\) точки \((x_0, y_0, С_0)\)
Кривая \(\gamma\) называется огибающей семейства кривых (\ref{7}), если в каждой своей точке она касается одной из кривых семейства и если в разных точках она касается разных кривых.
Очевидно \(-\) это решение особое.
Примем для определенности, что семейство кривых (\ref{7}) \(-\) решения уравнения \begin{equation}\label{8} y'=\varphi(x,y),\hspace{1cm} y(x_0)=y_0, \end{equation} и \((x_0, y_0)\in \gamma.\)
Пусть, далее, \(y=\psi(x)\) \(-\) интегральная кривая, проходящая через точку \((x_0, y_0)\) и \(y=\chi(x)\) \(-\) уравнение кривой \(\gamma\) вблизи этой точки.
Тогда (так как эти уравнения касаются) \[\psi'(x_0)=\varphi(x_0,y_0),\hspace{1cm} \psi'(x_0)=\chi'(x_0).\] Поэтому \(\chi'(x_0)=\varphi(x_0,y_0)\) и (\ref{8}) выполнено. \(\textbf{Теорема доказана.}\)
\(\textbf{1.} \) Уравнение первого порядка степени \(n\). \begin{equation}\label{9} a_0(x,y)(y')^n+a_1(x,y)(y')^{n-1}+\cdots+a_{n-1}(x,y)y'+a_n(x,y)=0, \end{equation} где \(a_j(x,y)\), \((j=0,1,\ldots,n)\) \(-\) функции, непрерывные в некоторой области. Предполагая, что \(a_0(x,y)\neq0\) по основной теореме алгебры уравнение (\ref{9}) определяет \(n\) значений \(y'\). Отбрасывая среди этих значений мнимые, получаем в некоторой окрестности \((x_0,y_0)\) \(m(m \leq n)\) дифференциальных уравнений первого порядка \begin{equation}\label{10} y'=f_k(x,y),\hspace{1cm}(k=1,\ldots,m) \end{equation} Каждое из уравнений задает в некоторой области \(D\) плоскости \(xOy\) поле направлений. Если в \(D\) \(f_k(x,y)\) удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности, то через каждую точку этой области проходит \(m\) интегральных кривых. Интегрируя (\ref{10}) получим совокупность общих решений или общих интегралов \begin{equation}\label{11} y_k=\varphi_k(x,C),\hspace{1cm} \Psi_k(x,y)=C, \end{equation} где \(C\) \(-\) произвольная постоянная. Совокупность (\ref{11}) называется общим интегралом (\ref{9}).
Найдем общий интеграл уравнения \(y'^3-x^2y'=0.\) Решая относительно \(y\) получим \[y'=0,\hspace{1cm}y'=x,\hspace{1cm} y'=-x,\] совокупность общих решений дает общий интеграл \[y=C,\hspace{1cm} y=\frac{x^2}{2}+C,\hspace{1cm} y=-\frac{x^2}{2}+C.\] Решение задачи Коши в каждой точке плоскости \(xOy\), не лежащей на оси \(Oy\) единственно. В каждой точке \((x_0,y_0)\), \((x \neq0)\) имеем три разных направления поля (наложение полей) \[y_0'=0,\hspace{1cm} y_0'=x_0,\hspace{1cm} y_0'=-x_0.\] Через точку \((x_0,y_0)\) проходят три интегральных кривых \[y=y_0,\hspace{1cm} y=\frac{x^2-x_0^2}{2}+y_0,\hspace{1cm} y=\frac{x_0^2-x^2}{2}+y_0.\] Особым решением уравнения (\ref{1}) называется решение, которое во всех своих точках не обладает свойством единственности, т.е. через каждую точку которого проходит не менее двух интегральных кривых, имеющих одинаковое направление касательных.
В примере \(x=0\) не является интегральной кривой и уравнение не имеет особых решений.
\(\textbf{2.}\) Уравнение \(F(y')=0\)
Предположим имеет конечное или бесконечное число вещественных корней, \[y'=k_i,\hspace{1cm} (i=1,2,\ldots), \hspace{1cm} k_i=const,\] которые не заполняют сплошь некоторый интервал. Тогда \[y=k_i x+C,\hspace{1cm} k_i=\frac{y-C}{x}.\] Общий интеграл уравнения имеет вид \[F \big(\frac{y-C}{x}\big)=0.\]
\(\textbf{3.}\) Метод введения параметра. Уравнения \(F(y,y')=0\) и \(F(x,y')=0\). Если разрешимы относительно \(y'\), то получаем уравнения с разделяющимися переменными.
Пусть \(F(y,y')=0\) можно выразить \(y=\varphi(y')\). Полагаем \(y'=p\); Тогда \[y=\varphi(p)\] Дифференцируем по \(x\): \[\frac{dy}{dx}=p=\varphi'(p)\frac{dp}{dx},\hspace{1cm} \frac{\varphi'(p)}{p}=dx\] Окончательно имеем параметрическое представление \[x=\int \limits_{p_0}^{p}\frac{\varphi'(p)}{p}dp+C,\hspace{1cm} y=\varphi(p).\] Пусть \(F(y,p)=0\) задано в параметрической форме \[y=\varphi(t),\hspace{1cm} p=\psi(t).\] Дифференцируем первое соотношение по \(t\). \[\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}=p \frac{dx}{dt}=\varphi'(t),\hspace{1cm} dx=\frac{\varphi'(t)}{\psi(t)}dt.\] получим параметрическое представление \[x=\int \limits_{t_0}^{t}\frac{\varphi'(t)}{\psi(t)}dt+C,\hspace{1cm} y=\varphi(t).\] Рассмотрим \(F(x,y')=0\) и из уравнения \(F(x,p)=0\) можно выразить \[x=\varphi(p).\] Тогда \(dy=y'dx=pdx=p \varphi'(p)dp\) и имеем \[x=\varphi(p),\hspace{1cm} y=\int \limits_{p_0}^{p}p \varphi'(p)dp+C.\] Если кривая \(F(x,p)=0\) задана параметрически \(x=\varphi(t)\), \(p=\psi(t)\), то дифференцируя первое уравнение по \(t\) имеем \[\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{dy}\frac{dy}{dt}=\frac{1}{p}\frac{dy}{dt}=\varphi'(t).\] Получим параметрическое представление \[x=\varphi(t),\hspace{1cm} y=\int \limits_{t_0}^{t}\psi(t)\varphi'(t)dt+C.\]
\(\textbf{4.}\) Уравнение Лагранжа. Если \(F(x,y,p)=0\) линейно относительно \(x\) и \(y\), то уравнение можно привести к виду \[y=xf(p)+g(p).\] Дифференцируем по \(x\). \[p=f(p)+\left[xf'(p)+g'(p)\right]\frac{dp}{dx}\] получаем линейное неоднородное уравнение \[\frac{dx}{dp}+\frac{f'(p)}{f(p)-p}x=\frac{g'(p)}{p-g(p)}.\] Находим \(x=x(p,C)\) подставляем в исходное и получаем \(y=y(p,C)\). Если \[p_0-f(p_0)=0,\] то имеется решение (интегральная кривая \(-\) прямая) \[y=xf(p_0)+g(p_0).\] Случай \(f(p)\equiv p\) приводит к уравнению Клеро \[y=xp+g(p).\] Полагая \(y'=p\) и дифференцируя по \(x\) получаем \[(g'(p)+x)\frac{dp}{dx}=0.\] В случае \(\frac{dp}{dx}=0\), \(p=C\) имеем семейство \[y=xC+g(C).\] В случае \( x=-g'(p)\) получаем интегральную кривую, \[x=-g'(p),\hspace{1cm} y=-pg'(p)+g(p)\] которая является особым решением.
\(\textbf{5.}\) Общий метод введения параметров. Считаем \((x,y,y')\) координатами пространственной точки.
Уравнение \(F(x,y,p)=0\) в системе координат \(x,y,p\) можно рассматривать как поверхность. Пусть удалось найти уравнение поверхности в параметрической форме: \begin{equation}\label{12} x=\alpha(u,v),\hspace{1cm} y=\beta(u,v), \hspace{1 cm}p=\gamma(u,v) \end{equation} Равенство \(dy=p\,dx\) примет вид \[ \frac{\partial \beta}{\partial u}\,du+\frac{\partial \beta}{\partial v}\,dv=\] \[ = p \left(\frac{\partial \alpha}{\partial u}\,du+\frac{\partial \alpha}{\partial v}\,dv \right).\] Имеем \begin{equation}\label{13} \frac{dv}{du}=\frac{p \frac{\partial \alpha}{\partial u}-\frac{\partial \beta}{\partial u}}{\frac{\partial \beta}{\partial v}-p \frac{\partial \alpha}{\partial v}}. \end{equation} Если (\ref{13}) интегрируется, \(v=\omega_1(u,C)\), ( или \(u=\omega_2(v,C)\)), то \[\begin{aligned} x=\alpha \left[u,\omega_1(u,C)\right], \hspace{1cm} y=\beta \left[u,\omega_1(u,C)\right]\end{aligned}\](или \[\begin{aligned} \ x=\alpha \left[\omega_2(v,C),v \right], \hspace{1cm} & y=\beta \left[\omega_2(v,C),v \right] \end{aligned})\] Решение уравнения \(F(x,y,p)=0\).
Если \(\Omega(u,v,C)=0\) \(-\) общий интеграл уравнения (\ref{13}), то решение уравнения \(F(x,y,p)=0\) дается равенствами \[ x=\alpha(u,v),\;\; y=\beta(u,v),\;\; \Omega(u,v,C)=0. \]
\(\textbf{1) исходное уравнение допускает параметризацию}\)
\(\textbf{2) полученное уравнение (\ref{13}) интегрируется в замкнутом виде.}\)
Если \(F(x,y,y')=0\) можно разрешить \(y=f(x,y')\), то положив \(u=x\), \(y'=v\) получим \[y=f(u,v).\] Тогда уравнение (\ref{13}) имеет вид \[\frac{dx}{dv}=\frac{\frac{\partial f}{\partial v}}{v-\frac{\partial f}{\partial x}}.\] Исходное уравнение будет интегрироваться, если будет интегрироваться последнее.