Изучение теории ОДУ начнем с ОДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. уравнений вида \begin{equation}\label{1} y'=f(x, y). \end{equation} Рассмотрим простой пример \(y'=x^{2}\). Решить его - это то же самое, что найти первообразную для функции \(x^{2}\). Таким образом, \(y=\frac{x^3}{3}+C\). Решения этого уравнения образуют целое множество функций, зависящее от параметра \(C\); такое множество называется \(\textbf {общим решением}\). Чтобы из этого семейства решений выделить одно, частное решение, задают начальное условие. Например, \(y(0)=1\); находим \(C=1\), в данном случае частное решение \(y=\frac{x^3}{3}+1\).
Вернемся к уравнению (\ref{1}) и дадим несколько определений.
Для ОДУ \(y'=f(x, y)\) (\ref{1}) условие вида \(y(x_0)=y_0\) называется \(\textbf {начальным условием}\), а задача нахождения решения, удовлетворяющего начальному условию \begin{equation}\label{2} \begin{cases}y' = f(x, y)\\y(x_{0}) = y_{0}\end{cases} \end{equation} называется \(\textbf {задачей Коши}\) (или начальной задачей).
Фундаментальным результатом теории ОДУ является следующая теорема.
Пусть функция \(f(x,y)\) и частная производная \(f'_y(x,y)\) непрерывны в некоторой области \(\Gamma\) плоскости \((x,y)\), точка \((x_0,y_0)\) лежит в \( \Gamma \). Тогда
\(\textbf {1. Существование.}\) В некоторой окрестности \( |x-x_0| \leq \delta\) точки \(x_0\) существует решение задачи Коши (\ref{2}).
\(\textbf {2. Единственность.}\) Если \(y=\varphi_1(x)\), \(y=\varphi_2(x)\) - два решения задачи Коши (\ref{2}), то \(\varphi_1(x)\equiv \varphi_2(x)\) в некоторой окрестности точки \(x_0.\)
Пусть область \(\Gamma\) на плоскости переменных \(x\),\(y\) будет той областью, в каждой точке которой выполнены условия теоремы существования и единственности.
Семейство функций
\begin{equation}\label{3}
y=\varphi(x,C)
\end{equation}
зависящее от параметра \(C\), называется \(\textbf {общим решением}\) уравнения (\ref{1}) в области \(\Gamma\), если
1. Для любой точки \((x_0,y_0) \in \Gamma \) существует такое значение параметра \(C_0\), что \(y_0 = \varphi(x_0,C_0)\);
2. Для любого значения параметра \(C_0\) из (\ref{1}) функция \(y = \varphi(x,C_0)\) является решением ОДУ (\ref{1})
Решение, получающееся из формулы общего решения (\ref{3}) при конкретном значении произвольной постоянной \(C\), называется \(\textbf {частным}\) решением уравнения (\ref{1}).
Знание общего решения \(y = \varphi(x,C)\) (\ref{3}) дает возможность решить задачу Коши с любыми начальными данными \((x_0,y_0)\) из области \(\Gamma\) за счет выбора соответствующего значения произвольной постоянной \(C\).