\(\textbf {1. Линейные нормированные пространства.}\)
Множество \(B\) называется линейным пространством, если для любых его элементов \(x\), \(y\) определена сумма \((x + y) \in B\) и для любого \((x + y) \in B\) и вещественного (или комплексного) числа \(\alpha\) определено произведение \(\alpha x \in B\) со следующими свойствами:
1) \(x + y = y + x.\)
2) \((x + y) + z = x + (y + z).\)
3) Существует нулевой элемент \(O_{B} \in B\), такой, что \(x + O_{B} = x\) для всех \(x \in B.\)
4) \(1·x = x\), \(0·x = O_{B}.\)
5) \(\alpha(\beta x) = \alpha\beta·x.\)
6) \((\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x\) и т.д.
Линейное пространство \(B\) называется нормированным, если каждому элементу \(x \in B\) поставлено в соответствие число \(||x||\) (норма \(x\)), обладающее следующими свойствами:
1) \(||x|| > 0\), \(x \neq O_{B}\); \(||O_{B}|| = 0\).
2) \( ||\alpha x|| = |\alpha|||x|| (\alpha — число). \)
3) \(||x + y||\leq||x||+||y||\) (неравенство треугольника).
Числовая прямая \(R\), \(||x|| = |x|.\)
Евклидово пространство \(E^{n}\). Элементы — векторы \[x = (x_{1},x_{2},...,x_{n})^{T}\] \[||x|| = |x| = \sqrt{\sum_{j=1}^n x_{j}^{2}}\]
Пространство \(R^{n}\). Элементы — векторы \[x = (x_{1},x_{2},...,x_{n})^{T}.\]
\(||x|| = |x| = max_{1\leq j\leq n}|x_{j}|\)
Пространство \(C(a,b)\). Элементы — функции \(x(t)\), непрерывные на отрезке \([a,b]\), с нормой \[||x(·)|| = max_{a\leq t\leq b}|x(t)|\]
Пространство \(C(a,b)\). Элементы — вектор-функции \[x(t) = (x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t))^{T},\] непрерывные на отрезке \([a,b]\), с нормой \[||x(·)||_{C} = max_{1\leq j\leq n}(max_{a\leq t\leq b}|x_{j}(t)|).\]
Множество \(M \in B\) называется ограниченным,если существует \(R > 0\) такое, что \(||x|| \leq R\) для всех \(x \in M\).
В \(\textbf {В}\) по определению \( \lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = x\), если \( \lim_{n \rightarrow \infty} ||x_{n} - x|| = 0.\)
Свойства пределов аналогичны свойствам пределов для числовых последовательностей.
Сходимость в \(B = R^{n}\) величин \(x^{k}\) к \(x\) эквивалентна сходимости компонент
\(\lim_{k \rightarrow \infty} x_{j}^{k} = x_{j}\), \(j = 1, 2, ..., n.\)
Сходимость в \(B = C(a,b)\) величин \(x_{n}(t)\) к \(x(t)\) — равномерная сходимость последовательности \({x_{n}(t)}\) на \([a,b]\).
Последовательность \({x_{n}}\) называется фундаментальной, если \[\lim_{k, l \rightarrow \infty}||x_{k} - x_{l}|| = 0.\]
Линейное нормированное пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность является сходящейся. Полное нормированное пространство называют банаховым. Пространства из примеров банаховы.
Ряд \(\sum_{n=1}^\infty x_{n}\) (\(x_{n} \in B\)) - сходящийся, если сходится последовательность частичных сумм.
Если ряд \(\sum_{n=1}^\infty x_{n}\) сходится по норме (т.е. ряд \(\sum_{n=1}^\infty ||x_{n}||\) сходится), то этот ряд сходится.
Пусть каждому элементу \(x \in M\), \(M \subset B\), поставлен элемент \(A(x) \in B\). Тогда задан оператор \(A\).
Пусть \(x = x(t)\) — непрерывная функция, определенная на отрезке \([\alpha,\beta]\) с графиком в пределах некоторого открытого множества \(Г\) и \(t_{0} \in [\alpha,\beta]\). Определим оператор \begin{equation}\label{1} A(x(·))=x^{*}(t) = x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} f[\tau, x(\tau)]d\tau \end{equation}
где \(f(t,x)\) - функция, определенная и непрерывная в области \(Г\). Функция \(x^{*}(t)\) непрерывна в промежутке \([\alpha,\beta]\). Обозначим отображение \(x(t)\) в \(x^{*}(t)\) через \(A\): \(A(x(·)) = x^{*}(·)\).
\(\textbf {2. Принцип сжатых отображений.}\)
Применим метод последовательных приближений к уравнению \[\varphi = A( \varphi ) , \hspace{0.5cm} \varphi \in B,\]
\(A\) действует из \(B\) в \(B\). Возьмем произвольную точку \(\varphi_{0} \in B\) \[\varphi_{1} = A(\varphi_{0}), \varphi_{2} = A(\varphi_{1}),...,\varphi_{n+1} = A(\varphi_{n}).\]
Пусть \(\varphi_{n}\) сходится к \(\varphi\) и оператор \(A\) позволяет осуществить предельный переход при \(n \rightarrow \infty\) в равенстве \[\varphi_{n+1} = A(\varphi_{n}),\]
получаем неподвижную точку \[\varphi = A(\varphi).\]
Пусть \(M \subset B\). Оператор \(A\), определенный на \(M\), сжимает \(M\), если
1. \(A: M \rightarrow M\) (для любого \(\varphi \in M\) имеем \(A(\varphi) \in M\)).
2. Существует \[k, \hspace{0.5cm} 0 < k < 1\] такое, что
\(||A(\varphi_{1}) - A(\varphi_{2})|| \leq k||\varphi_{1} - \varphi_{2}||\) для любых \(\varphi_{1}, \varphi_{2} \in M\).
Пусть \(M\) — замкнутое ограниченное множество в банаховом пространстве \(B\). Пусть оператор \(A\) сжимает \(M\). Тогда уравнение \begin{equation}\label{2} \varphi = A( \varphi) \end{equation} имеет решение \(\varphi \in M\), и притом единственное.
Применим к (\ref{2}) метод последовательных приближений. Возьмем \(\varphi_{0} \in M\) и построим \[\varphi_{1} = A(\varphi_{0}), \varphi_{2} = A(\varphi_{1}),..., \hspace{0.5cm}\varphi_{n+1} = A(\varphi_{n}).\]
1. Так как \(A : M \rightarrow M\), то все \(\varphi_{j} \in M\).
2. Последовательность \( {\varphi_{n}} \) сходится. Сходимость \({\varphi_{n}}\) эквивалентна сходимости ряда \begin{equation}\label{3} \varphi_{0} + (\varphi_{1} - \varphi_{0}) + (\varphi_{2} - \varphi_{1}) + ... + (\varphi_{n+1} - \varphi_{n}) + .... \end{equation}
Т.к. \(M\) ограничено, то \(\exists C > 0\), что \(||\varphi|| \leq C\) для любого \(\varphi \in M\).
По индукциии доказывается, что \begin{equation}\label{4} ||\varphi_{n+1} - \varphi_{n}|| \leq 2Ck^{n}, \hspace{0.5cm} n = 0, 1, .... \end{equation}
При \(n = 0\) верно, \[||\varphi_{1} - \varphi_{0}|| \leq ||\varphi_{1}|| + ||\varphi_{0}|| \leq 2C .\]
И если \((4)\) справедливо для \(n\), то для \(n + 1\) в силу условия теоремы \[||\varphi_{n+1} - \varphi_{n}|| = ||A(\varphi_{n} - A(\varphi_{n-1}))|| \leq k||\varphi_{n} - \varphi_{n-1}|| \leq 2Ck^{n}\].
Это доказывает (\ref{4}). Значит ряд (\ref{3}) равномерно сходится по признаку Вейерштрасса (нормы членов ряда не превосходят членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем \(k\), \(0\) < \(k\) < \(1\)). Т.е. \[\lim_{n \rightarrow \infty} \varphi_{n} = \varphi \] существует и \(\varphi \in M\) (\(M\) - замкнуто)
3. Докажем, что \begin{equation}\label{5} \lim_{n \rightarrow \infty} A(\varphi_{n}) = A(\varphi). \end{equation}
Действительно, \[||A(\varphi_{n}) - A(\varphi)|| \leq k||\varphi_{n} - \varphi|| \rightarrow 0\] при \(n \rightarrow \infty\) и (\ref{5}) доказано.
4. Теперь, переходя к пределу при \(n \rightarrow \infty\) в равенстве \[\varphi_{n+1} = A(\varphi_{n}),\]
получаем, что \(\varphi\) — решение уравнения (\ref{2}).
5. Решение уравнения (\ref{2}) единственно. Пусть \(\varphi, \psi\ \in M\) являются решениями. Тогда \(\varphi - \psi\ = A(\varphi) - A(\psi)\), откуда \[||\varphi - \psi\|| \leq k||\varphi - \psi\||.\]
Так как \(0\) < \(k\) < \(1\), то \(||\varphi - \psi|| = 0\) и \(\varphi = \psi \). \(\textbf {Теорема доказана.}\)
Рассмотрим задачу Коши для уравнения \begin{equation}\label{6} \frac{dx}{dt} = f(t, x), \end{equation}
с начальным условием \begin{equation}\label{7} x(t_{0}) = x_{0}. \end{equation}
Пусть \(x = x(t)\) — некоторое решение уравнения (\ref{6}),определенное на интервале \(t \in (\alpha_{1},\alpha_{2})\), так что выполнено тождество \begin{equation}\label{8} \frac{dx(t)}{dt} = f(t, x(t)), \hspace{0.5cm} t \in (\alpha_{1},\alpha_{2}), \end{equation}
и \(x = x(t)\) удовлетворяет начальному условию (\ref{7}). Тогда для функции \(x = x(t)\) на всем \( (\alpha_{1}, \alpha_{2})\) выполнено интегральное тождество \begin{equation}\label{9} x(t) = x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} f[\tau, x(\tau)]d\tau. \end{equation}
Обратно, если для некоторой непрерывной функции \(x = x(t)\) на \((\alpha_{1},\alpha_{2})\) выполнено тождество (\ref{9}), то функция \(x = x(t)\) дифференцируема, является решением уравнения (\ref{6}) и удовлетворяет начальному условию (\ref{7}).
1. Пусть для некоторой непрерывной функции \(x = x(t)\) на интервале \((\alpha_{1},\alpha_{2})\) выполнено (\ref{9}). По теореме о производной от интеграла по переменному верхнему пределу имеем
\(\frac{dx}{dt} = f[t, x(t)]\). При \(t = t_{0}\) из \((9)\) получаем \(x(t_{0}) = x_{0}\).
2.Пусть теперь \(x = x(t)\) — решение задачи Коши (\ref{6})-(\ref{7}). Интегрируем \begin{equation}\label{10} dx(t) \equiv f[t,x(t)]dt. \end{equation}
в пределах от \(t_{0}\) до \(t\) получаем \[x(t) - x(t_{0}) = \int_{t_{0}}^{t} f[\tau,x(\tau)]d\tau.\].
Учитывая \(x(t_{0}) = x_{0}\) получаем (\ref{9}).
\(\textbf {Лемма доказана.}\)