Здесь рассматриваются ОДУ 1-го порядка, линейные относительно неизвестной функции и ее производной.
Общий вид линейного уравнения 1-го порядка следующий: \begin{equation}\label{11} y'+a(x)y=b(x). \tag{11} \end{equation} Функции \(a(x)\) и \(b(x)\) считаются непрерывными в промежутке \((\alpha, \beta)\). Легко заметить, что это требование обеспечивает выполнение условий теоремы Коши в полосе, задаваемой неравенствами \[\Gamma: \hspace{1cm} \alpha < x < \beta, \hspace{1cm} -\infty < y < +\infty.\] Если \(b(x)\equiv 0\), уравнение (\ref{11}) называют линейным однородным. В противном случае - неоднородным.
Уравнение \begin{equation}\label{12} \frac{dy}{dx}+a(x)y=0 \tag{12} \end{equation} называют линейным однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (\ref{11})
Обратите внимание, что линейное однородное ОДУ НЕ является ОДНОРОДНЫМ ОДУ в смысле предыдущего параграфа.
Сначала проинтегрируем однородное уравнение (\ref{12}). Полагая \(y\neq 0\), разделяем переменные \(\frac{dy}{y}=-a(x)dx;\) \[\ln |y|=-\int a(x)dx+\ln |C| \hspace{1cm} (C\neq 0), \hspace{1cm} \text{или} \hspace{1cm} y=Ce^{-\int a(x)dx}.\] Кроме этого, имеется решение \(y\equiv 0\), называемое тривиальным. Чтобы объединить оба решения одной формулой, разрешается произвольной постоянной \(C\) принимать значение нуль.
Переходим к решению неоднородного уравнения. Применим метод вариации произвольной постоянной, предложенный Лагранжем. В методе Лагранжа сначала находится общее решение однородного уравнения \(y=Ce^{-\int a(x)dx}\), а затем постоянная \(C\) заменяется функцией аргумента \(x\), т.е. превращается в переменную величину, варьируется. Выражение \begin{equation}\label{13} y=C(x)e^{-\int a(x)dx} \tag{13} \end{equation} подставляем в неоднородное уравнение, после чего находится неизвестная вначале функция \(C(x)\). Производную \(y'\) вычисляем как производную произведения двух функций: \[\frac{dC}{dx}\cdot e^{-\int a(x)dx}-C(x)a(x)e^{-\int a(x)dx}+a(x)C(x)e^{-\int a(x)dx}=b(x).\] Отсюда \(\frac{dC}{dx}e^{-\int a(x)dx}=b(x)\), следовательно, \[\frac{dC}{dx}=b(x)e^{\int a(x)dx} \hspace{0.5cm} и \hspace{0.5cm} C(x)=\int\, b(x)e^{\int a(x)dx}dx+D\], где \(D\) - произвольная постоянная.
Подставляя найденную функцию \(C(x)\) в формулу (\ref{13}), получаем общее решение неоднородного уравнения \begin{equation}\label{14} y = De^{-\int a(x)dx}+e^{-\int a(x)dx}\int\left(b(x)e^{\int a(x)dx}\right)dx. \tag{14} \end{equation} Запоминать следует не формулу (\ref{14}), а метод Лагранжа.
Каждое решение уравнения (\ref{11}) определено на всем промежутке \((\alpha, \beta)\).
Формула (\ref{14}) показывает, что общее решение линейного неоднородного ОДУ есть сумма общего решения линейного однородного, соответствующего данному неоднородному, и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного ОДУ.
Решить дифференциальное уравнение \(y'-\frac{2}{x}y=x^3\)
\(\textbf {Шаг 1.}\) Решаем однородное уравнение \(y'-\frac{2}{x}y=0\). Разделяем переменные \(\frac{dy}{y}=\frac{2}{x}dx; \hspace{1cm} \int \frac{dy}{y}=\int \frac{2dx}{x}; \hspace{1cm} \ln |y|=2\ln |x|+\ln C; \hspace{1cm} y=Cx^2\)
(при \(C=0\) получается тривиальное решение \(y\equiv0\)).
\(\textbf {Шаг 2.}\) Считая \(C\) функцией \(x\), подставляем полученное выражение в исходное уравнение: \[\frac{dC}{dx}x^2 + C \cdot 2x-\frac{2}{x}\cdot Cx^2 =x^3, \text{ или } \frac{dC}{dx}x^2=x^3.\] В заданном уравнении \(x\) находится в знаменателе, следовательно, предполагается, что \(x\neq 0\), поэтому можно сократить на \(x^2\).
Получаем \(\frac{dC}{dx}=x; \hspace{1cm} C=\frac{1}{2}x^2 +D.\) \[Ответ: y=Dx^2 + \frac{1}{2}x^4.\hspace{1cm} {\bigtriangleup}\]