Интегрирующий множитель

Рассмотрим уравнение \begin{equation}\label{1} M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \end{equation} Функция $\mu(x,y)$, определенная в области $\tilde{\Gamma}$, называется $\textbf{интегрирующим множителем}$ уравнения (\ref{1}), коэффициенты которого $M(x,y)$ и $N(x,y)$ определены в области $\Gamma$, если выполняются условия:

1. $\tilde{\Gamma}\supseteq\Gamma$;

2. $\mu(x,y)\neq0$ в $\Gamma$;

3. $\mu'_y(x,y)$ и $\mu'_x(x,y)$ существуют и непрерывны в $\Gamma$;

4. уравнение $\mu Mdx+\mu Ndy=0$ является уравнением в полных дифференциалах.

Теорема 2

Если существует общий интеграл $U(x,y)=C$ уравнения (\ref{1}), то существует и интегрирующий множитель для этого уравнения.

Доказательство.

Пусть точка $(x_0,y_0)\in\Gamma$ произвольна, $y=\varphi(x)$ - решение уравнения (\ref{1}), $\varphi(x_0)=y_0$ и $U(x_0,y_0)=C_0$. Подставим это решение в равенство $U(x,y)=C_0$.

Вычислим дифференциал функции $U\left[x,\varphi(x)\right]:$ \[{\left[\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial y}\varphi{}'(x)\right]\,dx=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy}.\] С другой стороны $\varphi(x)$ - решение, $U\left[x,\varphi(x)\right]\equiv{C_0}$, поэтому дифференциал левой части равен нулю вдоль кривой $y=\varphi(x)$: \[\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy=0.\] Также вдоль кривой $y=\varphi(x)$ выполняется равенство $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.$$ Получена система уравнений относительно $dx$ и $dy$ \begin{equation}\label{2} \left \{\begin{aligned} \frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy=0,\\ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.\\ \end{aligned} \right. \end{equation} Cчитая, что $dx\neq0$, система имеет ненулевое решение $(dx,dy)$, и, её определитель равен нулю.

Введем функцию $\mu(x,y)$. \[\mu(x,y)=\frac{\frac{\partial U(x,y)}{\partial x}}{M(x,y)}=\frac{\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}}{N(x,y)}.\] Это равенство выполняется при $y=\varphi(x)$ и, в частности, в точке $(x_0,y_0)$. Точка $(x_0,y_0)$ выбрана в $\Gamma$ произвольно. Поэтому в $\Gamma$ верны равенства: \[ \mu(x,y)M(x,y)=\frac{\partial U(x,y)}{\partial x};\;\; \mu(x,y)N(x,y)=\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}. \] Теорема доказана.

Нахождение интегрирующего множителя

Предположим, что интегрирующий множитель $\mu(x,y)$ для уравнения (\ref{1}) существует. По теореме 1 из $\S\ 7$ в $\Gamma$ имеем \[ {\frac{\partial(\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial(\mu N)}{\partial x}}.\] Отсюда \begin{equation}\label{3} \frac{\partial\mu}{\partial y}-N\frac{\partial\mu}{\partial x}=\mu(\frac{\partial N}{\partial x }-\frac{\partial M}{\partial y}) \end{equation} Уравнение для $\mu(x,y)$ не проще, чем уравнение (\ref{1}). Возможны частные случаи, когда это уравнение разрешимо.

Предположим, что $\mu$ есть сложная функция: $\mu=\mu\left[\omega(x,y)\right].$ Тогда \[\frac{\partial\mu}{\partial x}=\frac{d\mu}{d\omega}\frac{\partial\omega}{\partial x}, \quad \frac{\partial\mu}{\partial y}=\frac{d\mu}{d\omega}\frac{\partial\omega}{\partial y}.\] Подставляя эти выражения в уравнение (\ref{3}), получим \begin{equation}\label{4} \frac{\frac{d\mu}{d\omega}}{\mu}=\frac{\frac{\partial N }{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M\frac{\partial\omega}{\partial y}-N\frac{\partial\omega}{\partial x}}. \end{equation}

Частные случаи:

Случай 1

$\omega=x$ (интегрирующий множитель зависит только от $x$). Уравнение (\ref{4}) принимает вид \begin{equation}\label{5} \frac{\frac{d\mu}{dx}}{\mu}=\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{-N}. \end{equation} Сначала вычисляется правая часть (\ref{5}). Если она зависит только от $x$, то (\ref{5}) - ОДУ с разделяющимися переменными, множитель $\mu(x)$ находится. Иначе ищем другой путь решения.

Случай 2

$\omega=y$. Множитель $\mu=\mu(y)$ существует в том случае, когда выражение \[\frac{\frac{\partial N }{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}\] зависит только от $y$.

Случай 3

$\omega=x+y$, что будет тогда, когда выражение \[\frac{\frac{\partial N }{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M-N}\] можно представить, как функцию величины $\omega=x+y$

Случай 4

$\omega=xy$. В этом случае \[\frac{\frac{\partial N }{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{Mx-Ny}\;,\] и если правая часть как функция от произведения $xy$, то ищем интегрирующий множитель $\mu=\mu(xy).$

Теорема 3

Если $\mu_0$ интегрирующий множитель уравнения (\ref{1}), т.е. \[ \mu_0(Mdx+Ndy)=dU_0, \] a $U_0(x,y)=C$ соответствующий ему интеграл этого уравнения, то выражение \[ \mu=\mu_0\varphi(U_0), \] где $\varphi$ $-$ произвольная дифференцируемая функция, тоже будет интегрирующим множителем (\ref{1}).

Доказательство

Умножим левую часть (\ref{1}) на $\mu_0\varphi(U_0)$. \[ \mu_0\varphi(U_0)(Mdx+Ndy)=\varphi(U_0)\mu_0(Mdx+Ndy)= \] \[ =\varphi(U_0)dU_0=d\int{\varphi(U_0)\,dU_0} \] Левая часть (\ref{1}) после умножения на $\mu_0\varphi(U_0)$ стала полным дифференциалом функции $\int{\varphi(U_0)\,dU_0}.$

Так как $\varphi$ $-$ произвольная функция, то уравнение (\ref{1}) имеет бесчисленное множество интегрирующих множителей.

Теорема 4

Если $\mu_0$ интегрирующий множитель уравнения (\ref{1}), a $U_0(x,y)$ $-$ соответствующий ему интеграл уравнения (\ref{1}), то всякий интегрирующий множитель $\mu_1$ этого уравнения дается формулой \[ \mu_1=\mu_0\varphi(U_0), \] где $\varphi$ $-$ произвольная дифференцируемая функция.