Уравнение \begin{equation}\label{1} M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \end{equation}
называется \(\textbf{уравнением в полных дифференциалах}\), если существует такая функция \(U(x,y)\), что левая часть уравнения является её дифференциалом: \begin{equation}\label{2} dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy. \end{equation}
Тогда (\ref{1}) может быть записано в виде \[dU(x,y)=0\] и имеет общий интеграл \[U(x,y)=C.\]
Уравнение \(xdy+ydx=0\) является уравнением в полных дифференциалах:\(d(xy)=0,\) \(xy=c\), где \(C\) -- произвольная постоянная. Задачи: а) как установить, что уравнение является уравнением в ПД; б) как найти соответствующую функцию \(U(x,y)\).
Пусть Функции \(M(x,y)\) и \(N(x,y)\) определены в некоторой односвязной области \(\Gamma\) плоскости \(xOy\), и в этой области существуют и непрерывны частные производные по \(x\) и \(y\) от функций \(M(x,y)\) и \(N(x,y)\). Для того чтобы уравнение (\ref{1}) было уравнением в полных дифференциалах в \(\Gamma\), необходимо и достаточно выполнение в этой области равенства \begin{equation}\label{3} \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} \stackrel{(x,y)\in\Gamma}{\equiv\!\equiv}\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}. \end{equation}
\(\textbf{Необходимость.}\) Если левая часть уравнения (\ref{1}) удовлетворяет (\ref{2}) и является уравнением в полных дифференциалах, то \[M(x,y)dx+N(x,y)dy=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy\] т.е. \[M(x,y)=\frac{\partial U}{\partial x}, \quad N(x,y)=\frac{\partial U}{\partial y}\]
В силу того, что \(M(x,y)\) имеет непрерывную частную производную по \(y\), а \(N(x,y)\) -- по \(x\) имеем равенства и непрерывность смешанных производных \[\frac{\partial M(x,y)}{\partial y} =\frac{\partial ^2U}{\partial x \partial y};\;\;\; \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} =\frac{\partial ^2U}{\partial y \partial x} \] Необходимость (\ref{3}) доказана.
\(\textbf{Достаточность.}\) Существование функции \(U(x,y)\) установим её построением. Рассмотрим функцию
\begin{equation}\label{4} U(x,y)=\int\limits_{x_0}^x M(x,y)\,dx+\varphi(y), \end{equation} где \(\varphi(y)\) \(-\) функция произвольная.
Дифференцируя по \(x\) имеем \(\frac{\partial U}{\partial x} =M(x,y)\). Односвязность обеспечивает принадлежность всего отрезка с концами в точках \((x_0,y)\) и \((x,y)\) области \(\Gamma\), если вторая точка находится в достаточно малой окрестности первой. С помощью подбора функции \(\varphi(y)\) (считаем её непрерывно дифференцируемой) потребуем выполнения равенства \(\frac{\partial U}{\partial y}=N(x,y)\). Дифференцируем равенство (\ref{4}) по \(y\). \[\frac{\partial U(x,y)}{\partial y} =\int\limits_{x_0}^x \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}\,dx+\varphi'(y).\]
Используя тождество (\ref{3}) \(\frac{\partial M(x,y)}{\partial y} \stackrel{(x,y)\in\Gamma}{\equiv\!\equiv}\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}\) и формулу Ньютона-Лейбница, получим \[\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}=\int\limits_{x_0}^x \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}\,dx+\varphi'(y)=N(x,y)-N(x_0,y)+\varphi'(y).\] Требуя \(\frac{\partial U}{\partial y}=N(x,y)\), находим \(\varphi(y)\) из \(\varphi'(y)=N(x_0,y)\), тогда \[\varphi(y)=\int\limits_{y_0}^y N(x_0,y)\,dy.\]
В результате построена функция \[U(x,y)=\int\limits_{x_0}^x M(x,y)\,dx+\int\limits_{y_0}^y N(x_0,y)\,dy+C.\] Теорема доказана.