Многие типы уравнений сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными. К ним относятся \(\textbf {однородные уравнения}\).
Определение: функция \(f(x, y)\) есть \(\textbf {однородная функция}\) \(m\)-\(\textbf {ого измерения}\), если для любого \(t\in \textbf{R}\) выполняется тождество \[f(tx,ty)=t^mf(x,y).\]
\(\textbf {Однородным}\) называют уравнение \(y'=f(x,y)\), в котором функция \(f(x,y)\) удовлетворяет условию \(f(tx,ty)=f(x,y)\), т.е. является однородной функцией нулевого измерения. Заменяя в последнем равенстве \(t\) на \(\frac1x\), получим \(f(x,y)=f(1,\frac{y}{x})=\Phi(\frac{y}{x}).\) Следовательно, уравнение \(y'=f(x,y)\) называется однородным, если его можно привести к виду \begin{equation}\label{9} \frac{dy}{dx} = \Phi ( \frac{y}{x} ). \tag{9} \end{equation}
Применим замену переменной: введем новую искомую функцию \(u(x)\) вместо \(y(x)\) по формуле \(y=ux\). Замена \(u=\frac{y}{x}\) предполагает, что \(x\) не обращается в нуль.
Относительно функции \(u(x)\) получится уравнение \(\frac{du}{dx}x+u=\Phi(u)\) или \begin{equation}\label{10} x\frac{du}{dx}=\Phi(u)-u, \tag{10} \end{equation}
а это уравнение с разделяющимися переменными.
Имеются три возможности:
1. \(\Phi(u)-u\neq0,\) дело сводится к интегрированию уравнения \({\frac{du}{\Phi(u)-u}=\frac{dx}x}\) с разделяющимися переменными. 2. При некоторых значениях \(u=\overline{u},\) \(\Phi(\overline{u})-\overline{u}=0.\) Очевидно, функция \(u=\overline{u}\) является решением уравнения \(x\frac{du}{dx}=\Phi(u)-u\) (\ref{10}), а \(y=\overline{u}x\) - решение уравнения \(\frac{dy}{dx}=\Phi\left(\frac{y}{x}\right) (\ref{9})\). 3. \(\Phi(u)-u\equiv0\), а это означает ,что \(\Phi(u)\equiv{u}\), или \(\Phi(\frac{y}{x})\equiv\frac{y}{x}\); Уравнение (\ref{9}) принимает вид \(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x},\) и \(y=Cx\) --- его общее решение.
На однородном уравнении прослеживается тенденция, характерная для интегрирования многих типов дифференциальных уравнений: \(\textbf {тем или иным способом уравнение нового типа преобразуется к типу, уже изученному.}\)
\(y'=\frac{(x^2+y^2)}{xy}.\) Придадим уравнению вид \[y'=\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\] В правой части стоит однородная функция нулевого измерения. Делаем замену \(y=ux.\) \( x\frac{du}{dx}+u=\frac 1u+u\), или \( udu=\frac{dx}{x}\). Интегрируя, находим \(\frac{u^2}{2}=\ln |x|+C_1\), или \(u^2=2\ln |x|+\ln C,\) или \(y^2=x^2\ln(Cx^2)\) -- общий интеграл.
ОДУ вида \[M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0\] называется однородным, если \(M\) и \(N\) -- однородные функции одного и того же измерения \(m\). Для его интегрирования нет необходимости приводить его к виду (\ref{9}), можно применить подстановку \(y=ux\) и получить уравнение с разделяющимися переменными.