Пусть дано уравнение \begin{equation}\label{8} y^{(n)} +a_{1} (t)y^{(n-1)} +...+a_{n-1} (t)y'+a_{n} (t)y=0 \tag{8} \end{equation} и известно его нетривиальное частное решение \(y=\varphi (t)\), тогда проведём замену переменных \begin{equation}\label{9} y=\varphi (t)z, \tag{9} \end{equation} где \(z=z(t)\) \(-\) новая искомая функция.
Можно понизить порядок исходного ДУ (\ref{8}) на единицу, причём новое ДУ для \(z\) также будет линейным однородным.
Докажем, что уравнение относительно переменной \(z\) имеет вид: \begin{equation}\label{10} b_{0} (t)z^{(n)} +b_{1} (t)z^{(n-1)} +...+b_{n-1} (t)z'+b_{n} (t)z=0 \tag{10} \end{equation} причём \(b_{0} (t)=\varphi (t);\quad b_{n} (t)\equiv 0\)
Подставим в уравнение (\ref{8}) выражение (\ref{9}) и сгруппируем слагаемые, содержащие производные от \(z\) одного порядка.
Учитывая, что \[y^{(k)}=\varphi (t)z^{(k)}+\ldots+\varphi^{(k)}(t)z,\] где в ненаписанных членах содержатся производные \(z\) не выше \((k-1)\).
Отсюда вытекает, что уравнение для \(z\) примет вид (\ref{10}), причём \(b_0(t)=\varphi(t)\).
Докажем, что \(b_{n} (t)\equiv 0\).
Если \(y=\varphi (t)z\) \(-\) решение уравнения (\ref{8}), то \(z\) \(-\) решение уравнения (\ref{9})
При \(z=1\) получаем \(y=\varphi (t)\). Эта функция является решением уравнения (\ref{8}) . Значит \(z=1\) решение уравнения (\ref{10}). Подставляя в уравнение (\ref{10}) \(z=1\), получим \(b_{n} (t)\cdot 1=0\, \Rightarrow \; b_{n} (t)\equiv 0\, \).
Если надо получить уравнение со старшим коэффициентом 1, то поделим (\ref{10}) на \(b_{0} (t)=\varphi (t)\), рассматривая промежуток, где \(\varphi (t)\ne 0\).
Замена \(z'=u\) в уравнении (\ref{10}) приводит к \begin{equation}\label{11} \varphi(t)u^{(n-1)} +b_{1} (t)u^{(n-2)} +...+b_{n-1} (t)u=0 \tag{11} \end{equation} т. е. получили линейное уравнение \((n-1)\) порядка. Можно привести его к стандартному виду, поделив его на \(\varphi (t)\), рассматривая промежуток, где \(\varphi (t)\ne 0\).
Если найдено нетривиальное решение \(u=\psi(t)\) уравнения (\ref{11}), то вычисляется \[z=\int \psi(t)dt , y=\varphi(t)\int \psi(t)dt \] Это новое решение уравнения (\ref{8}) и решение \(\varphi(t)\) линейно независимы, так как \(\psi(t)\) нетривиально (т. е. \(\int \psi (t)dt\), - не \(const\)).
Зная два линейно независимых решения \(\varphi _{1} (t)\) и \(\varphi _{2} (t)\) уравнения (\ref{8}), можно понизить его порядок на две единицы.
Действительно, функция \(z\), определяемая соотношением \[\varphi _{2} (t)=\varphi _{1} (t)z(t),\] должна быть решением уравнения (\ref{10}). Поэтому \[u=z'=\left(\frac{\varphi _{2} }{\varphi _{1} } \right)^{{'} } \] является известным нетривиальным решением (\ref{11}), что позволяет понизить на единицу его порядок, сохраняя линейность.
Значение \(r\) линейно независимых решений (\(r\le n-1\)) даёт возможность понизить порядок на \(r\) единиц, а при \(r=n\) сразу получается общее решение уравнения (\ref{8}).
\(\textbf {Запись линейного уравнения в операторной форме}\)
\[y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_n(x)y=0.\]Пусть функция \(y(x)\) \(-\) \(n\) раз дифференцируема в интервале \((r_1,r_2)\), а \begin{equation}\label{12} L(y(x)):=y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_n(x)y. \tag{12} \end{equation}
Cимволом \(L\) обозначим: \[L\equiv\frac{d^n}{dx^n}+a_1(x)\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}+\ldots+a_{n-1}(x)\frac{d}{dx}+a_n(x).\] и будем называть \(\textbf {линейным дифференциальным оператором \(n\)-го порядка}\). В частности, линейный дифференциальный оператор 2-го порядка имеет вид \[ L\equiv\frac{d^2}{dx^2}+a_1(x)\frac{d}{dx}+a_2(x). \]
\(\textbf{Замечание.}\)Хотя структура решений линейного однородного уравнения проста (линейная комбинация решений ФСР), однако фундаментальные системы решений эффективно находятся лишь для уравнений с ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.