\begin{equation}\label{18} y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=f(x), \tag{18} \end{equation} где \(\alpha_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}, \) функция \(f(x) \) непрерывна на интервале \( (r_1,r_2) \) .
Общее решение уравнения (\ref{18}) имеет структуру: \[y=C_1y_1(x)+\ldots+C_ny_n(x)+y_{\text{ч.н.}}.\] \(\hskip 5mm\surd \) Находить общее решение \(C_1y_1(x)+\ldots+C_ny_n(x) \) однородного уравнения умеем.
\(\hskip 5mm\surd \) \(y_{\text{ч.н.}} \) \(-\) методом вариации произвольных постоянных Лагранжа.
\(\textbf{Специальный вид правой части уравнения (\ref{18}).}\)
Функцию вида \begin{equation}\label{19} f(x)=e^{\alpha x}(P(x)\cos \beta x+Q(x)\sin \beta x), \tag{19} \end{equation} где \(\alpha\) и \(\beta\) \(-\) действительные числа, а \(P(x) \) и \(Q(x) \) \(-\) многочлены с действительными коэффициентами, называют \(\textbf{действительным квазимногочленом}\).
Уравнение \[ y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=e^{\alpha x}(P(x)\cos \beta x+Q(x)\sin \beta x),\] где \( \beta\ne0, \)имеет частное решение вида \begin{equation}\label{20} y_{\text{ч.н.}}=x^se^{\alpha x}[R_m(x)\cos \beta x+T_m(x)\sin \beta x], \tag{20} \end{equation} где \(R_m(x) \) и \(T_m(x) \) \(-\) многочлены с неопределенными коэффициентами степени не выше \(m\) \(\) наибольшей из степеней многочленов \(P(x) \) и \(Q(x) \) . Число \(s\) равно нулю, если \( \gamma=\alpha+\beta i\) не является корнем характеристического уравнения \((17)\) и равно кратности корня \( \alpha+\beta i\) в противном случае.
Коэффициенты многочленов \(R_m(x) \) и \(T_m(x) \) находятся подстановкой \(y_{\text{ч.н.}} \) (\ref{20}) в уравнение (\ref{18}) и приравниванием коэффициентов при подобных членах.
Если \( \beta=0, \) то уравнение \[y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=e^{\alpha x}P_m(x),\] имеет частное решение вида \begin{equation}\label{21} y_{\text{ч.н.}}=x^se^{\alpha x}R_m(x), \tag{21} \end{equation} где \(R_m(x)\) \(-\) многочлен с неопределенными коэффициентами степени \(m\) , а \(s \) равно нулю, если \( \gamma=\alpha \) не является корнем характеристического уравнения и равно кратности корня \( \alpha\) в противном случае.
Если правая часть уравнения (\ref{18}) равна сумме нескольких действительных квазимногочленов, то частное решение отыскивается по Принципу суперпозиции: если в уравнении (\ref{18}) правая часть \(f(x) \) представляет собой сумму \[f(x)=f_1(x)+f_2(x),\] то находят частное решение \(y_1(x) \) уравнения \[y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=f_1(x),\] и \(y_2(x) \) \(-\) частное решение уравнения \[ y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=f_2(x),\] тогда \(y_{\text{ч.н.}}=y_1(x)+y_2(x) \) является частным решением уравнения (\ref{18}) с правой частью \(f(x)=f_1(x)+f_2(x) \).
Решить уравнение \[y''-6y'+9y=xe^{3x}+e^{-x}\cos 2x.\] \[y''-6y'+9y=0,\] \[\lambda^2-6\lambda+9=0, (\lambda-3)^2=0. \] корень,\(\lambda=3\) , двойной кратности.
Общее решение однородного уравнения : \[y_0=(C_1+C_2x)e^{3x} \] Для \(f_1(x)=xe^{3x} \) число \( \gamma=3 \) ,
Для \( f_2(x)=e^{3x}\cos 2x\) число \( \gamma=-1+2i \) . Так как эти числа различны, надо искать отдельно частные решения уравнений \[y''-6y'+9y=xe^{3x}\] \[y''-6y'+9y=e^{-x}\cos 2x.\] \begin{equation}\label{22} y''-6y'+9y=xe^{3x} \tag{22} \end{equation} \( \gamma=3, \) \(\hspace{1cm}\) \( s=2, \) \(\hspace{1cm}\) \( m=1, \) \(\hspace{1cm}\) \( y_1=x^2(Ax+B)e^{3x}. \)
Подставим \(y_1(x) \) в уравнение (\ref{22})и определим \( A=\frac16 \) , \(B=0. \)
Итак, \( y_1=\frac16\,x^3e^{3x} \) . \begin{equation}\label{23} y''-6y'+9y=e^{-x}\cos 2x. \tag{23} \end{equation} \( \gamma=-1+2i, \) \(\hspace{1cm}\) \(s=0, \) \(\hspace{1cm}\) \( m=0, \) \(\hspace{1cm}\) \( y_2=e^{-x}(C\cos 2x+D\sin2x). \)
Подставим \( y_2(x) \) в уравнение (\ref{23}) и определим \( C=0.03, \) \( D=-0.04. \)
Итак, \(y_2=\frac{1}{100}\,e^{-x}(3\cos 2x-4\sin2x) \) .
Общее решение исходного неоднородного уравнения \[ y=y_0+y_1+y_2=\] \[=(C_1+C_2x)e^{3x}+\frac16\,x^3e^{3x}+\frac{1}{100}\,e^{-x}(3\cos 2x-4\sin2x). \hspace{1cm} {\triangle}\] ВВП \(-\) показатель в денежном выражении, характеризующий объем продукции народного хозяйства.
описывается уравнением: \[T\frac{d^2X}{dt^2}+(Tn+1)\frac{dX}{dt}+(n-a\mu)X=\mu A(t),\] где \(X(t) \) \(-\) валовый внутренний продукт, \( T \) \(-\) лаг (запаздывание) фондообразования, \(A(t) \) \(-\) внешние инвестиции, \( \mu \) \(-\) средняя капиталоотдача, \(a\) \(-\) средний норматив отчислений на капитальные вложения, \(n\) \(-\) средняя норма амортизации основных производственных фондов.
Характеристическое уравнение \[T\lambda^2+(Tn+1)\lambda+n-a\mu=0.\] \[\lambda_{1,2}=-\frac{Tn+1}{2T}\pm\frac{1}{2T}\sqrt{(Tn+1)^2-4T(n-a\mu)}=\] \[=-\frac{Tn+1}{2T}\pm\frac{1}{2T}\sqrt{(Tn-1)^2+4Ta\mu}.\] Отсюда получаем, что подкоренное выражение положительное, и корни действительные различные.
Общее решение однородного уравнения имеет вид \[X_0=C_1e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t}.\] Если \(n>a\mu\), то \(\lambda_{1,2}<0 \) , значит в ситуации отсутствия внешних инвестиций ( \(A(t)\equiv0\) , однородное уравнение) ВВП \(X(t) \) сокращается.
Если \( n < a\mu \) , то \( \lambda_{1}>0\) , а \( \lambda_{2}<0\) , значит при отсутствии внешних инвестиций и при \(C_1\ne 0\) ВВП \(X(t) \) растет.
При \(n=a\mu\) находим \( \lambda_{1}=0\) , \( \lambda_{2}=-\left(n+\frac{1}{T}\right) \) . В этом случае в ситуации отсутствия внешних инвестиций ВВП стабилизируется.
Проанализируйте поведение ВВП (величины \(X(t) \) ), если функция внешних инвестиций \(A(t) \) имеет вид квазимногочлена. Рассмотрите случаи \(A(t)\equiv d\) , \(A(t)=ct+d\) . \(\hspace{1cm} \triangle\)
Несмотря на кажущуюся узость класса действительных квазимногочленов, он заслуживает отдельного рассмотрения, так как класс соответствующих прикладных задач весьма широк и важен.
Уравнение гармонических колебаний
\[\ddot{y}+k^2y=0, k>0.\] Здесь точки обозначают производные по времени \(t\) . Этим уравнением описываются свободные (без сопротивления среды) колебания груза, подвешенного на пружине, автомобиля на рессорах и др.
Характеристическое уравнение \[\hspace{3cm}\lambda^2+k^2=0.\hspace{2cm} \lambda_{1,2}=\pm ik.\] Общее решение\[ y=C_1\cos kt+C_2\sin kt.\] Считая \(C_1^2+C_2^2\neq 0\) (этим исключается тривиальное решение), вынесем за скобки \( \sqrt{C_1^2+C_2^2} \) : \[y=\sqrt{C_1^2+C_2^2}\left( \frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\cos kt+\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\sin kt\right).\] Каждая из дробей в скобках не больше единицы по абсолютной величине, а сумма их квадратов равна единице. Поэтому найдется такой угол \( \delta\) , что \[\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}=\sin \delta , а \frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}=\cos \delta. \] Обозначим \(A=\sqrt{C_1^2+C_2^2} \) . Тогда получим следующий вид общего решения \begin{equation}\label{24} y=A\sin (kt+\delta) \tag{24} \end{equation} \(A\) и \( \delta\) здесь \(-\) произвольные постоянные, определяются начальными условиями: начальными отклонением и скоростью \[ y(0)=y_0, y'(0)=v_0.\]
Число \(A\) называют \(\textbf{амплитудой}\) колебаний, \( \delta\) \(-\) \(\textbf{начальной фазой}\) колебаний, \(k\) \(-\) \(\textbf{частотой}\) колебаний (частота колебаний одинакова для всех начальных условий, определяется лишь свойствами системы \(-\) массой тела и жесткостью пружины), \(T=\frac{2 \pi }{k} \) \(-\) \(\textbf{периодом}\) колебаний. \(\triangle \)
Уравнение гармонических колебаний с вынуждающей периодической силой.
\[\ddot{y}+k^2y=H\sin \omega t.\] Это линейное неоднородное уравнение 2-го порядка с квазимногочленом в правой части.
Общее решение однородного уравнения \[ y=C_1\cos kt+C_2\sin kt=A\sin (kt+\delta),\] где \(A\) и \( \delta\) \(-\) новые произвольные постоянные.
Найдем частное решение неоднородного уравнения. В нашем случае \( \gamma=\omega i\) . Вид частного решения зависит от того, является ли \( \gamma\) корнем характеристического уравнения \( \lambda^2+k^2=0. \) Рассмотрим случаи:
\( 1). \) \( \omega\ne k\) , тогда \( \gamma\) \(-\) не корень характеристического уравнения, и \[y_{\text{ч.н.}}(t)=a\cos\omega t+b\sin\omega t.\] Тогда \[\dot{y}_{\text{ч.н.}}(t)=-\omega\,a\sin\omega t+\omega\,b\cos\omega t,\] \[ \ddot{y}_{\text{ч.н.}}(t)=-\omega^2a\cos\omega t-\omega^2b\sin\omega t,\] подставляя в исходное уравнение, приходим к соотношению \[a(k^2-\omega^2)\cos\omega t+b(k^2-\omega^2)\sin\omega t=H\sin \omega t.\] Приравнивая коэффициенты при подобных слагаемых, получаем: \[\left\{ \begin{array}{ll} a(k^2-\omega^2)=0,\\[1ex] b(k^2-\omega^2)=H. \end{array}\right.\] Отсюда \(a=0\) , \(b=\frac{H}{k^2-\omega^2}\) , \(y_{\text{ч.н.}}(t)=\frac{H}{k^2-\omega^2}\sin\omega t\) .
Общее решение исходного уравнения имеет вид \[y=A\sin (kt+\delta)+\frac{H}{k^2-\omega^2}\sin\omega t.\] Вывод: в случае, когда собственная частота \(k\) и вынуждающая частота \( \omega\) различны, имеем наложение двух колебаний с постоянными амплитудами.
\( 2). \) \( \omega= k\) ,тогда \( \gamma\) \(-\) однократный корень характеристического уравнения, и \[y_{\text{ч.н.}}(t)=t(a\cos\omega t+b\sin\omega t).\] Тогда \[\dot{y}_{\text{ч.н.}}(t)=t(-\omega\,a\sin\omega t+\omega\,b\cos\omega t)+a\cos\omega t+b\sin\omega t,\] \[ \ddot{y}_{\text{ч.н.}}(t)=t(-\omega^2a\cos\omega t-\omega^2b\sin\omega t)+2(-\omega\,a\sin\omega t+\omega\,b\cos\omega t).\] Подставляя в исходное уравнение и учитывая, что \( \omega= k\) , получим \[2(-\omega\,a\sin\omega t+\omega\,b\cos\omega t)=H\sin \omega t.\] Приравнивая коэффициенты при подобных слагаемых, получаем: \[b=0,a=-\frac{H}{2\omega}.\] Тогда \(y_{\text{ч.н.}}(t)=-t\,\frac{H}{2\omega}\cos\omega t\) .
Общее решение исходного уравнения имеет вид \[y=A\sin (kt+\delta)-t\,\frac{H}{2\omega}\cos k t.\]
\(\textbf{Вывод:}\) в случае, когда собственная частота \(k\) и вынуждающая частота \( \omega\) совпадают, амплитуда второго колебания неограниченно растет с ростом \(t\) даже при малом \(H\) . Такое явление резкого возрастания амплитуды под действием внешних возмущающих сил (даже совсем малых) называется \(\textbf{резонансом} \triangle\) .Явление резонанса наблюдается в колебательных системах разной природы. Чаще всего оно является нежелательным и его стараются устранить (в механических системах резонанс может вызвать разрушения). В некоторых случаях эффект резкого усиления амплитуды колебаний полезен. Например, процесс настройки радиоприемника на волну определенной радиостанции и заключается в сближении собственной частоты колебательного контура приемника с частотой радиостанции.
Если же неоднородность не является квазимногочленом (или суммой квазимногочленов), то можно применять метод вариации постоянных.
Решить уравнение \[y''-y=\frac{e^x}{e^x+1}.\] Соответствующее однородное уравнение \(y''-y=0. \)
Характеристическое уравнение \( \lambda^2-1=0\) , его корни \( \lambda_1=1\) ,\( \lambda_2=-1\) ,
Общее решение однородного уравнения: \[y=C_1e^{x}+C_2e^{-x}.\] Правая часть уравнения не является квазимногочленом, поэтому применим метод вариации произвольных постоянных.
Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде: \[y=C_1(x)e^{x}+C_2(x)e^{-x}.\] Выпишем систему для нахождения производных \(C_1'(x) \) и \(C_2'(x) \) : \[\left\{ \begin{array}{lllllllll} C_1'(x)e^{x}+C_2'(x)e^{-x}=0,\\[1ex] C_1'(x)e^{x}-C_2'(x)e^{-x}={\frac{e^x}{e^x+1}}; \end{array} \right.\] Решая ее, находим \[\left\{ \begin{array}{lllllllll} C_1'={\frac{1}{2(e^x+1)}},\\[2ex] C_2'={-\frac12\,\frac{e^{2x}}{e^x+1}}; \end{array}\right.\] Далее интегрируем \[\left\{ \begin{array}{lllllllll} C_1={-\frac{x}{2}+\frac12\ln(e^x+1)+D_1},\\[2ex] C_2={-\frac{e^x}{2}+\frac12\ln(e^x+1)+D_2}. \end{array} \right.\] Подставляя найденные \(C_1\) и \(C_2\) в формулу для общего решения, получаем общее решение исходного уравнения в виде \[y=D_1e^{x}+D_2e^{-x}+\] \[+{\left(-\frac{x}{2}+\frac12\ln(e^x+1)\right)}e^{x}+ {\left(-\frac{e^x}{2}+\frac12\ln(e^x+1)\right)}e^{-x}. \hspace{1cm} {\triangle}\]