Линейное неоднородное уравнение имеет вид: \begin{equation}\label{1} y^{(n)} +a_{1} (t)y^{(n-1)} +...+a_{n-1} (t)y'+a_{n} (t)y=f(t) \end{equation} где \(a_{1} (t),\; a_{2} (t),\; ...,a_{n} (t)\) - коэффициенты,
f(t) - неоднородность, \(y^{(k)} =\frac{d^{k} y}{dt^{k} } \)
Уравнение \begin{equation}\label{2} y^{(n)} +a_{1} (t)y^{(n-1)} +...+a_{n-1} (t)y'+a_{n} (t)y=0 \end{equation} - линейное однородное, соответствует уравнению (\ref{1}).
Линейные однородные уравнения всегда имеют тривиальное решение \(y\equiv 0\).
Предполагается, что \(a_{i} (t)\quad i=\overline{1,n} \) и \(f(t) \) - непрерывные на \(t\in (r_{1} ,r_{2} ) \) , тогда в области \(\Gamma \) : \[ t\in (r_{1} ,r_{2} ),\; y\in (-\infty ,+\infty ),\; y'\in (-\infty ,+\infty ),\; \ldots ,\, y^{(n-1)} \in (-\infty ,+\infty ),\] будут выполняться условия теоремы Коши, т. е. начальная задача Коши с любой точкой \[(t_{0} ,y_{0} ,y'_{0} ,,y_{0}^{(n-1)} )\quad (t\in (r_{1} ,r_{2} ))\] однозначно разрешима.
Пусть в уравнении (\ref{1}) \[f(t)=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i} f_{i} (t), \quad \alpha _{i} =const\] \(f(t) \) - линейная комбинация \(f_{i} (t) \) ). Пусть \(y=\varphi _{i} (t) \) - решения следующих уравнений \[ y^{(n)} +a_{1} (t)y^{(n-1)} +...+a_{n-1} (t)y'+a_{n} (t)y=f_{i} (t)\quad i=\overline{1,n}, \] Тогда \(y=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i} \varphi _{i} (t) \) является решением уравнения (\ref{1}).
Сделаем подстановку. Вместо \(y\) везде подставим \( \sum _{i=1}^{m}\alpha _{i} f_{i} (t) \) . Получаем следующее
\begin{multline}\nonumber \begin{array}{l} \left(\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha _{i} \varphi _{i} (t)\right)^{(n)} + a_{1} (t)\left(\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha _{i} \varphi _{i} (t)\right)^{(n-1)} +\ldots + a_{n-1} (t)\left(\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha _{i} \varphi _{i} (t)\right)^{{'} } + a_{n} (t)\left(\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha _{i} \varphi _{i} (t)\right)= \end{array} \end{multline} \begin{multline}\nonumber \begin{array}{l} =\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha _{i} \varphi _{i}^{(n)} (t)+ a_{1} (t)\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha _{i} \varphi _{i}^{(n-1)} (t)+...+\\[1ex] +a_{n-1} (t)\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha _{i} \varphi '_{i} (t)+ a_{n} (t)\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha _{i} \varphi _{i} (t)= \\[2ex] =\sum\limits_{i=1}^{m}\Big(\alpha _{i} \varphi _{i}^{(n)} (t)+ a_{1} (t)\alpha _{i} \varphi _{i}^{(n-1)} (t)+...+\\[1ex]+a_{n-1} (t)\alpha _{i} \varphi '_{i} (t)+ a_{n} (t)\alpha _{i} \varphi _{i} (t)\Big) = \\[2ex] =\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha _{i} \Big(\varphi _{i}^{(n)} (t)+ a_{1} (t)\varphi _{i}^{(n-1)} (t)+...+\\[1ex]+a_{n-1} (t)\varphi '_{i} (t)+ a_{n} (t)\varphi _{i} (t)\Big) = \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha _{i} f_{i} (t) =f(t) \end{array} \end{multline}
Учитываем \[\varphi _{i}^{(n)} (t)+a_{1} (t)\varphi _{i}^{(n-1)} (t)+...+a_{n-1} (t)\varphi '_{i} (t)+a_{n} (t)\varphi _{i} (t)=f_{i} (t), i=\overline{1,n}\]
\(\textbf{Теорема доказана.}\)
\(\underline{\textit{Следствие 1.}}\)
Линейная комбинация решений линейного однородного уравнения есть решение этого уравнения
(следует положить \( f_{i} (t)\equiv0 \quad \forall i=\overline{1,n} \)), следовательно \( f(t)\equiv 0\) .
\(\underline{\textit{Следствие 2.}}\)
Разность двух решений линейного неоднородного уравнения является решением соответствующего однородного уравнения.
(Нужно положить \(m=2,\quad f_{1} =f_{2}, \quad \alpha _{1} =1,\quad \alpha _{2} =-1\) ).
\(\underline{\textit{Следствие 3.}}\)
Пусть в уравнении \begin{equation}\label{3} z^{(n)} +a_{1} (t)z^{(n-1)} +...+a_{n-1} (t)z'+a_{n} (t)z=f_{1} (t)+i\cdot f_{2} (t), \end{equation} где \( a_{k} (t)\quad (k=\overline{1,n}),\, f_{1} (t),\, f_{2} (t) \) - действительные функции.
Тогда \(z=\varphi _{1} (t)+i\cdot \varphi _{2} (t) \) - решение уравнения (\ref{3}) \( \Leftrightarrow \)
\(y=\varphi _{j} (t)\quad j=1,\; 2\) - решения следующих уравнений \[y^{(n)} +a_{1} (t)y^{(n-1)} +...+a_{n-1} (t)y'+a_{n} (t)y=f_{j} (t)\quad j=1,\; 2.\]
(Схема доказательства:
\( \Rightarrow \) по условию равенства комплексных чисел, т. е. подставить \(z\) в уравнение (\ref{3}) и выделить действительную и мнимую часть.
\( \Leftarrow \) из теоремы о суперпозиции. Нужно положить \(B=2\) , \( \alpha _{1} =1\) ,\( \alpha _{2} =i\) )).
\(\underline{Определение.}\) Система функций \( \varphi _{1} (t),\, \varphi _{2} (t),...,\, \varphi _{n} (t) \) линейно зависима на интервале \( (r_{1} ,r_{2} ) \), если существуют постоянные \(C_{1} ,\, C_{2} ,\; ...,C_{n} \) такие, что \(C_{1}^{2} +C_{2}^{2} +\; ...+C_{n}^{2} \ne 0\) и \( \sum _{i=1}^{n}C_{i} \varphi _{i} (t)\equiv 0\) .
Если же тождество \(\sum _{i=1}^{n}C_{i} \varphi _{i} (t)\equiv 0\) влечёт за собой равенство \[C_{1}^{2} +C_{2}^{2} +\; ...+C_{n}^{2} =0,\] то система функций \( \varphi _{1} (t),\, \varphi _{2} (t),...,\, \varphi _{n} (t) \) линейно независима.
\(\textbf{Определитель Вронского}\)
\[W(t)=W\left[\varphi _{1} (t),\, \varphi _{2} (t),...,\, \varphi _{n} (t)\right]=\] \[=\det \left(\begin{array}{l} {\varphi _{1} (t)\quad \; \quad \varphi _{2} (t)\quad \; \; \ldots \quad \varphi _{n} (t)\; }\\ {\varphi '_{1} (t)\, \quad \quad \, \varphi '_{2} (t)\quad \; \; \ldots \quad \varphi '_{n} (t)} \\ {...................................................} \\ {...................................................} \\ {\varphi _{1}^{(n-1)} (t)\; \; \; \; \varphi _{2}^{(n-1)} (t)\; \; \ldots \; \varphi _{n}^{(n-1)} (t)} \end{array}\right)\]
Справедливы следующие утверждения:
\(\underline{Утверждение 1}.\)
Если система функций \( \varphi _{1} (t),\, \varphi _{2} (t),...,\, \varphi _{n} (t) \) линейно зависима на интервале \( (r_{1} ,r_{2} )\), то \(\forall t\in (r_{1} ,r_{2} )\quad W(t)=0\quad (W(t)\equiv 0) \) .
\(\underline{Утверждение 2}.\)
Если система решений \( \varphi _{1} (t),\, \varphi _{2} (t),...,\, \varphi _{n} (t)\) линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка линейно независима на интервале \( (r_{1} ,r_{2} ) \) , то \( \forall t\in (r_{1} ,r_{2} )\quad W(t)\ne 0\)
\(\textbf{Утверждение 1.}\)
Так как система функций \( \varphi _{1} (t),\, \varphi _{2} (t),...,\, \varphi _{n} (t) \) линейно зависима, то существуют постоянные \(C_{1} ,\, C_{2} ,\; ...,C_{n} \) такие, что \(C_{1}^{2} +C_{2}^{2} +\; ...+C_{n}^{2} \ne 0\) и \( \sum _{i=1}^{n}C_{i} \varphi _{i} (t)\equiv 0\) . Теперь продифференцируем это тождество \( (n-1) \) раз
\begin{equation}\label{4} \left\{\begin{array}{l} {\sum _{i=1}^{n}C_{i} \varphi _{i} (t)=0} \\ {\sum _{i=1}^{n}C_{i} \varphi '_{i} (t)=0} \\ {.........................} \\ {\sum _{i=1}^{n}C_{i} \varphi _{i}^{(n-1)} (t)=0} \end{array}\right. \end{equation}
Зафиксируем \(t\) . Посмотрим как на систему алгебраических линейных уравнений относительно \(C_{1} ,\, C_{2} ,\; ...,C_{n} \) . В силу того, что \(C_{1}^{2} +C_{2}^{2} +\; ...+C_{n}^{2} \ne 0\) (т. е. имеется ненулевое решение), то определитель системы равен нулю, то есть \(W(t)\equiv 0\) .
\(\textbf{Утверждение 2.}\)
От противного.
Предположим, что \( \exists t_{0} \in (r_{1} ,r_{2} )\quad W(t_{0} )=0\) . Возьмём \(t_{0} \) и подставим в систему (\ref{4}) алгебраических уравнений относительно \(C_{1} ,\, C_{2} ,\; ...,C_{n} \) .
Так как \(W(t_{0} )=0\) , то кроме тривиального решения есть и другое \( \exists \; \bar{C}_{1} ,\, \bar{C}_{2} ,\; ...,\, \bar{C}_{n} :\bar{C}_{1}^{2} +\bar{C}_{2}^{2} +\; ...+\bar{C}_{n}^{2} \ne 0\) .
1)\( \quad \bar{y}=\bar{C}_{1} \varphi _{1} (t)+\bar{C}_{2} \varphi _{2} (t)+...+\bar{C}_{n} \varphi _{n} (t) \) - решение линейного однородного уравнения \( y^{(n)} +a_{1} (t)y^{(n-1)} +...+a_{n-1} (t)y'+a_{n} (t)y=0\) , так как \( \varphi _{1} (t),\, \varphi _{2} (t),...,\, \varphi _{n} (t) \) - решения этого уравнения. (по следствию 1 из теоремы о принципе суперпозиции).
2)Подставим \( \bar{y}\) по очереди в уравнения системы \((4) \) : \[ \left\{\begin{array}{l} {\bar{y}(t_{0} )=0} \\ {\bar{y}'(t_{0} )=0} \\ {..............................} \\ {\bar{y}^{(n-1)} (t_{0} )=0} \end{array}\right. \] То есть \( \bar{y} \) удовлетворяет нулевым начальным условиям задачи Коши.
Этим же условиям удовлетворяет тривиальное решение \(y\equiv 0\). В силу единственности решения начальной задачи Коши, получаем \(y\equiv \bar{y} \) , то есть \( \quad \bar{C}_{1} \varphi _{1} (t)+\bar{C}_{2} \varphi _{2} (t)+...+\bar{C}_{n} \varphi _{n} (t)\equiv 0\) . Из \( \exists \; \bar{C}_{1} ,\, \bar{C}_{2} ,\; ...,\, \bar{C}_{n} :\bar{C}_{1}^{2} +\bar{C}_{2}^{2} +\; ...+\bar{C}_{n}^{2} \ne 0\) и последнего тождества, получается, что \( \varphi _{1} (t),\, \varphi _{2} (t),...,\, \varphi _{n} (t) \) - линейно зависимы.
Получили противоречие.
\(\textbf{Теорема доказана.}\)
\(\underline{Определение}\). Фундаментальная система решений (ФСР) линейного однородного дифференциального уравнения \(n\) -го порядка \[y^{(n)} +a_{1} (t)y^{(n-1)} +...+a_{n-1} (t)y'+a_{n} (t)y=0\] называется любая система из \(n\) линейно независимых решений этого уравнения.
1) Если система решений \( \varphi _{1} (t),\, \varphi _{2} (t),...,\, \varphi _{n} (t) \) линейного однородного дифференциального уравнения \[ y^{(n)} +a_{1} (t)y^{(n-1)} +...+a_{n-1} (t)y'+a_{n} (t)y=0\] линейно зависима, то \( \forall t\in (r_{1} ,r_{2} )\quad W(t)=0\quad W(t)\equiv 0 \) .
2) Если система решений \( \varphi _{1} (t),\, \varphi _{2} (t),...,\, \varphi _{n} (t) \) линейного однородного дифференциального уравнения \[ y^{(n)} +a_{1} (t)y^{(n-1)} +...+a_{n-1} (t)y'+a_{n} (t)y=0\] линейно независима, то \( \forall t\in (r_{1} ,r_{2} )\quad W(t)\ne 0\) .
\[ \begin{array}{l} {W(t_{0} )=0\Rightarrow \varphi _{1} (t),\, \varphi _{2} (t),...,\, \varphi _{n} (t)\; \; \text{ \(-\) не ФСР.}\; } \\ {W(t_{0} )\ne 0\Rightarrow \varphi _{1} (t),\, \varphi _{2} (t),...,\, \varphi _{n} (t)\; \text{ \(-\) ФСР.}\; } \\ {} \end{array}\]
\(\textit{Об общем виде решений линейных однородных уравнений n-го порядка.}\)
Пусть дано уравнение \begin{equation}\label{5} y^{(n)} +a_{1} (t)y^{(n-1)} +...+a_{n-1} (t)y'+a_{n} (t)y=0 \end{equation} \(a_{1} (t),\; a_{2} (t),\; ...,a_{n} (t) \) - определены и непрерывны на \( (r_1,r_2) \) , тогда
1) это уравнение имеет ФСР
2) если \( \varphi _{1} (t),\; \varphi _{2} (t),\; ...,\varphi _{n} (t) \) - ФСР, то любое решение \(y=y(t) \) уравнения представимо в виде \[y=\sum _{i=1}^{n}C_{i} \varphi _{i} (t)\] где \(C_i \) \(-\) постоянные.
\(\underline{Пункт \hspace{0.3cm} 1.}\)
Берем определитель \( \Delta _{0} \) ненулевой: \[\Delta _{0} =\det \left(\begin{array}{l} {a_{11} \; ...\; a_{1k} \; ...\; a_{1n} } \\ {a_{21} \; ...\; a_{1k} \; ...\; a_{1n} } \\ {........................} \\ {........................} \\ {a_{n1} \; ...\; a_{nk} \; ...\; a_{nn} } \end{array}\right)\ne 0\]
Имеется \(n\) задач Коши:
\(y=\varphi _{k} (t),\quad k=1,\, 2,\, ..,\, n\quad t_{0} \in (r_{1} ,r_{2} ) \) начальные условия \[\left\{\begin{array}{l} {\varphi _{k} (t_{0} )=a_{1k} } \\ {\varphi '_{k} (t_{0} )=a_{2k} } \\ {} \\ {\varphi _{k}^{(n-1)} (t_{0} )=a_{nk} } \end{array}\right. \]
\( \forall k=1,\, 2,\, ..,\, n\) задача с данными начальными условиями однозначно разрешима.
Получаем \( \varphi _{1} (t),\, \varphi _{2} (t),...,\, \varphi _{n} (t) \) - \(n\) решений уравнения (\ref{5}), удовлетворяющих начальным условиям. Определитель Вронского \(W(t) \) для этих решений при \(t=t_0\) совпадает с \( \Delta _{0} \) , и, следовательно, отличен от нуля. Поэтому наши решения линейно независимы и образуют ФСР. Т. к. мы можем бесконечно многими способами выбрать \( \Delta _{0} \), то и ФСР бесконечно много.
\(\underline{Пункт \hspace{0.3cm} 2.}\)
\( \varphi _{1} (t),\, \varphi _{2} (t),...,\, \varphi _{n} (t)\) - какая-нибудь ФСР , \(y=y(t) \) - произвольное решение уравнения (\ref{5}), взяв произвольно \(t_{0} \in (r_{1} ,r_{2} )\), составим систему уравнений для нахождения величин \(C_{1} ,\, C_{2} ,\; ...,C_{n} \) \begin{equation}\label{6} \left\{\begin{array}{l} {\sum _{i=1}^{n}C_{i} \varphi _{i} (t)=y(t_{0} )} \\ {\sum _{i=1}^{n}C_{i} \varphi '_{i} (t)=y'(t_{0} )} \\ {..............................} \\ {\sum _{i=1}^{n}C_{i} \varphi _{i}^{(n-1)} (t)=y^{(n-1)} (t_{0} )} \end{array}\right. \end{equation} Определитель данной системы \(-\) определитель Вронского \(W\) для данной ФСР в точке \(t_0\) .
\( \forall t\in (r_{1} ,r_{2} )\; \; W(t)\ne 0\; \Rightarrow \; W(t_{0} )\ne 0\Rightarrow \, \exists \; \bar{C}_{1} ,\, \bar{C}_{2} ,\; ...,\, \bar{C}_{n} \) - решение (единственное) системы (\ref{6}) Обозначим \( \bar{y}=\sum _{i=1}^{n}\bar{C}_{i} \varphi _{i} (t) \) .
1) \( \bar{y}=\bar{y}(t) \) - решение уравнения (\ref{5})
2) в силу системы (\ref{6}): \[\begin{array}{l} {\bar{y}(t_{0} )=y(t_{0} )} \\ {\bar{y}'(t_{0} )=y'(t_{0} )} \\ {....................} \\ {\bar{y}^{(n-1)} (t_{0} )=y^{(n-1)} (t_{0} )} \end{array}\]
3) \(y=y(t) \) - также решение уравнения (\ref{5})
4) \( \bar{y}(t)\equiv y(t) \) на \( (r_1,r_2) \) в силу единственности решения задачи Коши.
\( \exists \; \bar{C}_{1} ,\, \bar{C}_{2} ,\; ...,\, \bar{C}_{n} \quad y=y(t)=\sum _{i=1}^{n}\bar{C}_{i} \varphi _{i} (t) \) . (т. е. любое решение уравнения (\ref{5}) представимо в данном виде). \( \hspace{1cm} \textbf{Теорема доказана.}\)
\(\textit{Об общем виде решений линейного неоднородного дифференциального }\)
\(\textit{уравнения n-го порядка.}\)
Пусть дано уравнение \begin{equation}\label{7} y^{(n)} +a_{1} (t)y^{(n-1)} +...+a_{n-1} (t)y'+a_{n} (t)y=f(t) \end{equation} \(a_{1} (t),\; a_{2} (t),\; ...,a_{n} (t) \) - определены и непрерывны на \( (r_1,r_2) \) .
Пусть \(y=\bar{y}(t) \) - какое-то частное решение уравнения (\ref{7}), \[\varphi _{1} (t),\, \varphi _{2} (t),...,\, \varphi _{n} (t)\] \(-\) какая-нибудь ФСР для соответствующего однородного уравнения.
Тогда любое решение исходного уравнения (\ref{7}) представимо в виде: \[ y=y(t)=\bar{y}(t)+\sum _{i=1}^{n}C_{i} \varphi _{i} (t),\] где \(C_i\) \(-\) постоянные.
Так как \(y=y(t) \) и \(y=\bar{y}(t) \) - решения исходного неоднородного уравнения (\ref{7}), то их разность \( (y(t)-\bar{y}(t)) \) \(-\) решение соответствующего однородного уравнения. По теореме об общем виде решений однородного уравнения получаем, что \[\exists \; \bar{C}_{1} ,\, \bar{C}_{2} ,\; ...,\, \bar{C}_{n} -const\quad y(t)-\bar{y}(t)=\sum _{i=1}^{n}\bar{C}_{i} \varphi _{i} (t).\] Отсюда сразу получается, что \(\quad y(t)=\bar{y}(t)+\sum _{i=1}^{n}\bar{C}_{i} \varphi _{i} (t)\).
\(\textbf{Теорема доказана.}\)