Среди ОДУ порядка выше первого наиболее просто интегрируются линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: \begin{equation}\label{13} y''+ay'+by=0, \tag{13} \end{equation} где \(a,\,b\in \mathbb{R} \) .
\[\Gamma: \hspace{1cm} -\infty < x < \infty ,\hspace{1cm} -\infty < y < \infty ,\hspace{1cm} -\infty < y' < \infty \] Все решения уравнения (\ref{13}) определены при всех \(x\in \mathbb{R} \) .
Справедливы все утверждения и теоремы, сформулированные ранее для линейных уравнений.
Линейная комбинация решений уравнения (\ref{13}) есть снова решение этого уравнения.
Следуя \(\textbf {Эйлеру}\), будем искать решение уравнения (\ref{13}) в виде \[y=e^{\lambda x},\text{ где }\lambda\text{ \(-\) вещественное или комплексное число.}\] \[y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x},\] \[L(y(x))=L(e^{\lambda x})=e^{\lambda x}(\lambda^2+a\lambda+b).\] \(L(e^{\lambda x})=0\) , т.е. \(e^{\lambda x}\) является решением (\ref{13}), тогда и только тогда, когда \(\lambda\) является корнем уравнения \begin{equation}\label{14} \lambda^2+a\lambda+b=0 \tag{14} \end{equation}
Уравнение (\ref{14}) называется \(\textbf {характеристическим уравнением}\) линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка (\ref{14}), а многочлен \[s(\lambda)=\lambda^2+a\lambda+b\]
\(\textbf {характеристическим многочленом}\) уравнения (\ref{13}).
Характеристическое уравнение (\ref{13}) может иметь два действительных различных корня, один корень кратности \(2\) или два комплексно \(-\) сопряженных корня.
\(\textbf{А. Случай простых действительных корней характеристического уравнения (\ref{14})} \) \( \lambda_1,\,\,\lambda_2\in\mathbb{R},\lambda_1\ne\lambda_2. \)
Общее решение уравнения (\ref{13}): \[y=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}.\] Действительно, \[y_1=e^{\lambda_1 x}, y_2=e^{\lambda_1 x}\text{\(-\) ФСР уравнения (\ref{13})}\] \[W(x)=\begin{vmatrix} e^{\lambda_1 x} & e^{\lambda_2 x} \\ \lambda_1e^{\lambda_1 x} & \lambda_2e^{\lambda_2 x} \end{vmatrix}\] и при \(x=0\) определитель \[ W(0)=\left| \begin{array}{ccccc} 1&1\\ \lambda_1&\lambda_2 \end{array} \right|=\lambda_2-\lambda_1\neq 0.\]
\(\textbf{Б. Случай кратного корня уравнения (\ref{14}): \(\lambda_0\) \(-\) корень кратности 2.}\)
ФСР уравнения (\ref{13}): \[y_1=e^{\lambda_0 x},\quad y_2=xe^{\lambda_0 x}.\]
проверить, что \(y_1(x) \) , \(y_2(x) \) \(-\) решения уравнения (\ref{13}).
Установим линейную независимость этих функций: \[W(x)=\begin{vmatrix} e^{\lambda_0 x} & xe^{\lambda_0 x} \\ \lambda_0 e^{\lambda_0 x} & e^{\lambda_0 x}+\lambda_0xe^{\lambda_0 x} \end{vmatrix} ,\text{при }x=0 \hspace{1cm} W(0)=\begin{vmatrix} 1&0 \\ \lambda_0&1 \end{vmatrix} \neq 0 \] Тогда общее решение запишется в виде \begin{equation}\label{15} y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_0 x}. \tag{15} \end{equation}
\(\textbf{В. Случай комплексных корней уравнения (\ref{14}): \( \lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\) }\)
ФСР уравнения (\ref{13}) составляют функции \[y_1=e^{\lambda_1 x}, y_2=e^{\lambda_1 x}.\] Уравнение (\ref{13}) имеет действительные коэффициенты. Хотелось бы иметь действительнозначное решение. По формуле Эйлера \[e^{(\alpha\pm \beta i)x}=e^{\alpha x}\cos \beta x\pm ie^{\alpha x}\sin \beta x.\] Вместо ФСР из комплекснозначных функций \(e^{(\alpha+ \beta i)x} \) и \( e^{(\alpha- \beta i)x} \) составим ФСР из \(\textbf {действительнозначных } \)функций \(e^{\alpha x}\cos \beta x\) и \(e^{\alpha x}\sin \beta x\) .
проверить, что \(y_1=e^{\alpha x}\cos \beta x\) и \(y_2=e^{\alpha x}\sin \beta x\) : 1) решения; 2) линейно независимы.
Общее решение в этом случае имеет вид \[y=C_1e^{\alpha x}\cos \beta x+C_2e^{\alpha x}\sin \beta x=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x).\]