\begin{equation}\label{16} y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=0. \tag{16} \end{equation} Здесь \(a_1,\,\ldots,\,a_n\in\mathbb{R} \) . \[ y=e^{\lambda x},\text{ где }\lambda\text{ \(-\) вещественное или комплексное число.}\] \(y=e^{\lambda x} \) является решением уравнения \((16)\), тогда и только тогда, когда \( \lambda\) является корнем \(\textbf{характеристического уравнения}\) \begin{equation}\label{17} \lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\ldots+a_n=0 \tag{17} \end{equation}
Характеристическое уравнение составляется по тому же правилу, что и для уравнения \(2-го\) порядка: в уравнении производные от искомой функции заменяются соответствующими степенями \( \lambda\) , а \(y\) меняем на 1.
Характеристический многочлен, стоящий в левой части уравнения (\ref{17}), является многочленом \(n\)-ой степени с действительными коэффициентами. Из курса алгебры известно, что у такого многочлена имеется ровно \(n\) корней.
Структура ФСР зависит от свойств корней характеристического уравнения. Пусть \(\lambda_j\) \(-\) корень характеристического уравнения. Возможны случаи:
\(\textbf{А.} \) \(\lambda_j\) \(-\) простой действительный корень, тогда в ФСР ему соответствует решение \(y_j=e^{\lambda_jx} \) , уравнения (\ref{16}).
\(\textbf{Б.} \) \(\lambda_j\) \(-\) действительный корень кратности \(k\) , тогда ему соответствует \(k\) решений: \[y_{j_1}=e^{\lambda_jx}, y_{j_2}=xe^{\lambda_jx},\ldots,y_{j_k}=x^{k-1}e^{\lambda_jx}.\]
\(\textbf{B.} \) \( \lambda_j\) \(-\) простой комплексный корень, \( \lambda_j=\alpha + \beta i\) . Тогда \( \overline{\lambda_j}=\alpha-\beta i\) \(-\) простой корень характеристического уравнения.
\(\textbf{Паре комплексно сопряженных корней}\) \( \alpha\pm \beta i\) соответствуют \(\textbf{два действительных решения}\) вида \[y_{j_1}=e^{\alpha x}\cos \beta x, y_{j_2}=e^{\alpha x}\sin \beta x.\]
\(\textbf{Г.} \) \( \lambda_j\) \(-\) комплексный корень кратности \(k\) , \( \lambda_j=\alpha+ \beta i\) , тогда \( \overline{\lambda_j}=\alpha-\beta i\) \(-\) сопряженный корень кратность \(k\) в характеристическом уравнении.
\(\textbf{Паре комплексно сопряженных корней}\) \( \alpha\pm \beta i\) кратности \(k\)соответствуют \(2k\) \(\textbf{действительных решения}\) вида \[\begin{array}{lllllllllll} &y_{j_1}=e^{\alpha x}\cos \beta x,&y_{j_2}=xe^{\alpha x}\cos \beta x,&\ldots,&y_{j_k}=x^{k-1}e^{\alpha x}\cos \beta x,\\[1ex] &y_{j_{k+1}}=e^{\alpha x}\sin \beta x, &y_{j_{k+2}}=xe^{\alpha x}\sin \beta x,&\ldots,&y_{j_{2k}}=x^{k-1}e^{\alpha x}\sin \beta x. \end{array}\]
Решить уравнение \[y'''+4y''+6y'+4y=0.\] Характеристическое уравнение \[\lambda^3+4\lambda^2+6\lambda+4=0\] имеет корни \( \lambda_1=-2\) , \( \lambda_2=-1+i\) , \( \lambda_3=-1-i\) . Действительному корню \( \lambda_1=-2\) соответствует решение \[y_1=e^{-2 x},\] паре комплексно сопряженных корней \( -1\pm i\) соответствуют решения \[y_2=e^{- x}\cos x,y_3=e^{- x}\sin x.\] Решения \(y_1\) , \(y_2\) , \(y_3\) составляют ФСР. Общее решение имеет вид \[y=C_1e^{-2 x}+C_2e^{- x}\cos x+C_3e^{- x}\sin x. \hspace{1cm} {\triangle}\]