В некоторых случаях можно понизить порядок уравнения \begin{equation}\label{6} F(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n)} )=0. \tag{6} \end{equation} 1). Уравнение не содержит искомой функции и нескольких её производных: \begin{equation}\label{7} F(x,y^{(k)} ,y^{(k+1)} ,\ldots ,y^{(n)} )=0, \tag{7} \end{equation} Заменой \(y^{(k)} =z,\quad F(x,z,z',\ldots ,z^{(n-k)} )=0\) понижается порядок уравнения на \(k\) единиц. При этом \[\begin{array}{l} {y^{(k)} (x)=z(x)} \\ {y^{(k+1)} (x)=z'(x)} \\ {\quad \quad \quad \cdots } \\ {y^{(n)} (x)=z^{(n-k)} (x)} \end{array}\]
Общее решение уравнения \(F(x,z,z',\ldots ,z^{(n-k)} )=0\) выглядит как \(z=z(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-k} )\), чтобы найти общее решение уравнения (\ref{7}), делаем следующее: \[\begin{array}{l} {y^{(k)} (x)=z(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-k} )} \\ {y^{(k-1)} (x)=\int z(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-k} )dx+C_{n-k+1} } \\ {\quad \quad \quad \cdots } \end{array}\] и так далее, в результате получим общее решение уравнения (\ref{7}) в виде \(y=y(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} )\).
2). Уравнение не содержит явно независимой переменной: \begin{equation}\label{8} F(y,y',\ldots ,y^{(n)} )=0, \tag{8} \end{equation} Введение новой искомой функции \(p\) и нового аргумента \(y\) по формуле \(y'=p(y)\) позволяет понизить порядок уравнения на единицу. \[\begin{array}{l} {y'=p} \\ {y''=(y'_{x} )'_{x} =p'_{x} =(p(y))'_{x} =\frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx} =\frac{dp}{dy} y'=p\frac{dp}{dy} } \\ {y'''=((y'_{x} )'_{x} )'_{x} =\left(p\frac{dp}{dy} \right)_{x} ^{{'} } =\frac{d}{dx} \left(p\frac{dp}{dy} \right)=\frac{d}{dy} \left(p\frac{dp}{dy} \right)\frac{dy}{dx} =\left(\frac{d^{2} p}{dy^{2} } p+\left(\frac{dp}{dy} \right)^{2} \right)p} \\ {\ldots } \end{array}\] и так далее.
Выражение \(\frac{d^{k} y}{dx^{k} } \) будет содержать производные функции \(p(y)\) не выше \((k-1)\)-го порядка, что понижает порядок (\ref{8}) на единицу. Общее решение уравнения \[\tilde{F}\left(y,\frac{dp}{dy} ,\frac{d^{2} p}{dy^{2} } ,\ldots ,\frac{d^{(n-1)} p}{dy^{n-1} } \right)=0\] запишется как \[p=p\left(y,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-1} \right).\] А общее решение исходного уравнения (ref{8}) находится так \[\frac{dy}{dx} =p\left(y,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-1} \right)\Rightarrow y=y(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} ).\]
3). Уравнение вида \begin{equation}\label{9} F(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n)} )=\frac{d}{dx} \left(\Phi (x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)} )\right)=0. \tag{9} \end{equation} Тогда функция \(y=\varphi (x)\) является решением уравнения (\ref{9}) в интервале \((r1,r2)\) тогда и только тогда, когда \[\Phi \left(x,\varphi (x),\varphi '(x),\ldots ,\varphi ^{(n-1)} (x)\right)\equiv C\] в этом интервале. Получаем первый интеграл \[\Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)} \right)=C\] уравнения (\ref{9}) и понижаем его порядок на единицу (о первых интегралах см. далее). Получим общее решение (\ref{9}) \(y=y(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} )\).
4). Уравнение вида (\ref{6}) \[F(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n)} )=0,\] левая часть \(-\) однородная функция переменных \(y,y',\ldots ,y^{(n)} \), \[\forall t\quad F\left(x,ty,ty',\ldots ,ty^{(n)} \right)=t^{m} F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)} \right)\]. Вводим новую искомую функцию \(z=z(x)\), такую что \(y'=yz\). Далее \[\begin{array}{l} {y''=\left(y'\right)^{{'} } =\left(yz\right)^{{'} } =y'z+yz'=yz^{2} +yz'=y(z^{2} +z')} \\ {y'''=\left(y''\right)^{{'} } =\left(y(z^{2} +z')\right)^{{'} } =y'(z^{2} +z')+y(2z\cdot z'+z'')}\\ {=yz(z^{2} +z')+y(2z\cdot z'+z'') =y(z^{3} +3zz'+z'')} \end{array} \]
Имеем \[F\left(x,y,y\cdot z\, ,\; y(z^{2} +z'), \quad y(z^{3} +3zz'+z''),\; \ldots \right)=0, \] то есть \[y^{m} \tilde{F}(x,z,z',\ldots ,z^{(n-1)} )=0.\] При \(m>0 \quad y=0 - {\textrm {решение,}} \quad m<0 \quad y=0 - { \textrm{не решение}}\). Имеем \[\tilde{F}(x,z,z',\ldots ,z^{(n-1)} )=0 \Rightarrow z=z(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-1} )\] Значит \(y'=y\cdot z(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-1} )\) и \[{\frac{dy}{y} =z(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-1} )dx} \] \[{\ln \left|y\right|=\int z(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-1} )dx+\ln C_{n} } \] Общее решение исходного уравнения: \[y=C_{n} e^{\int z(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-1} )dx } .\]