В некоторых случаях можно понизить порядок уравнения \begin{equation}\label{6} F(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n)} )=0. \tag{6} \end{equation} 1). Уравнение не содержит искомой функции и нескольких её производных: \begin{equation}\label{7} F(x,y^{(k)} ,y^{(k+1)} ,\ldots ,y^{(n)} )=0, \tag{7} \end{equation} Заменой y^{(k)} =z,\quad F(x,z,z',\ldots ,z^{(n-k)} )=0 понижается порядок уравнения на k единиц. При этом \begin{array}{l} {y^{(k)} (x)=z(x)} \\ {y^{(k+1)} (x)=z'(x)} \\ {\quad \quad \quad \cdots } \\ {y^{(n)} (x)=z^{(n-k)} (x)} \end{array}
Общее решение уравнения F(x,z,z',\ldots ,z^{(n-k)} )=0 выглядит как z=z(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-k} ), чтобы найти общее решение уравнения (\ref{7}), делаем следующее: \begin{array}{l} {y^{(k)} (x)=z(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-k} )} \\ {y^{(k-1)} (x)=\int z(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-k} )dx+C_{n-k+1} } \\ {\quad \quad \quad \cdots } \end{array} и так далее, в результате получим общее решение уравнения (\ref{7}) в виде y=y(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} ).
2). Уравнение не содержит явно независимой переменной: \begin{equation}\label{8} F(y,y',\ldots ,y^{(n)} )=0, \tag{8} \end{equation} Введение новой искомой функции p и нового аргумента y по формуле y'=p(y) позволяет понизить порядок уравнения на единицу. \begin{array}{l} {y'=p} \\ {y''=(y'_{x} )'_{x} =p'_{x} =(p(y))'_{x} =\frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx} =\frac{dp}{dy} y'=p\frac{dp}{dy} } \\ {y'''=((y'_{x} )'_{x} )'_{x} =\left(p\frac{dp}{dy} \right)_{x} ^{{'} } =\frac{d}{dx} \left(p\frac{dp}{dy} \right)=\frac{d}{dy} \left(p\frac{dp}{dy} \right)\frac{dy}{dx} =\left(\frac{d^{2} p}{dy^{2} } p+\left(\frac{dp}{dy} \right)^{2} \right)p} \\ {\ldots } \end{array} и так далее.
Выражение \frac{d^{k} y}{dx^{k} } будет содержать производные функции p(y) не выше (k-1)-го порядка, что понижает порядок (\ref{8}) на единицу. Общее решение уравнения \tilde{F}\left(y,\frac{dp}{dy} ,\frac{d^{2} p}{dy^{2} } ,\ldots ,\frac{d^{(n-1)} p}{dy^{n-1} } \right)=0 запишется как p=p\left(y,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-1} \right). А общее решение исходного уравнения (ref{8}) находится так \frac{dy}{dx} =p\left(y,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-1} \right)\Rightarrow y=y(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} ).
3). Уравнение вида \begin{equation}\label{9} F(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n)} )=\frac{d}{dx} \left(\Phi (x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)} )\right)=0. \tag{9} \end{equation} Тогда функция y=\varphi (x) является решением уравнения (\ref{9}) в интервале (r1,r2) тогда и только тогда, когда \Phi \left(x,\varphi (x),\varphi '(x),\ldots ,\varphi ^{(n-1)} (x)\right)\equiv C в этом интервале. Получаем первый интеграл \Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)} \right)=C уравнения (\ref{9}) и понижаем его порядок на единицу (о первых интегралах см. далее). Получим общее решение (\ref{9}) y=y(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} ).
4). Уравнение вида (\ref{6}) F(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n)} )=0, левая часть - однородная функция переменных y,y',\ldots ,y^{(n)} , \forall t\quad F\left(x,ty,ty',\ldots ,ty^{(n)} \right)=t^{m} F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)} \right). Вводим новую искомую функцию z=z(x), такую что y'=yz. Далее \begin{array}{l} {y''=\left(y'\right)^{{'} } =\left(yz\right)^{{'} } =y'z+yz'=yz^{2} +yz'=y(z^{2} +z')} \\ {y'''=\left(y''\right)^{{'} } =\left(y(z^{2} +z')\right)^{{'} } =y'(z^{2} +z')+y(2z\cdot z'+z'')}\\ {=yz(z^{2} +z')+y(2z\cdot z'+z'') =y(z^{3} +3zz'+z'')} \end{array}
Имеем F\left(x,y,y\cdot z\, ,\; y(z^{2} +z'), \quad y(z^{3} +3zz'+z''),\; \ldots \right)=0, то есть y^{m} \tilde{F}(x,z,z',\ldots ,z^{(n-1)} )=0. При m>0 \quad y=0 - {\textrm {решение,}} \quad m<0 \quad y=0 - { \textrm{не решение}}. Имеем \tilde{F}(x,z,z',\ldots ,z^{(n-1)} )=0 \Rightarrow z=z(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-1} ) Значит y'=y\cdot z(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-1} ) и {\frac{dy}{y} =z(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-1} )dx} {\ln \left|y\right|=\int z(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-1} )dx+\ln C_{n} } Общее решение исходного уравнения: y=C_{n} e^{\int z(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-1} )dx } .