Общий вид дифференциального уравнения \(n\)-го порядка: \[F(t,\,y,\,y',\,...,\,y^{(n)} )=0,\] функция \(F\) \(-\) задана, \(t\) \(-\) независимая переменная, \(y(t)\) \(-\) искомая функция. \[(t,\,y,\,y',\,...,\,y^{(n)} )\in \Gamma \subset R^{n+2}\] Дифференциальное уравнение \(n\)-го порядка, разрешимое относительно высшей производной: \[y^{(n)} =f(t,\,y,\,y',\,...,\,y^{(n-1)} ),\quad (t,\,y,\,y',\,...,\,y^{(n-1)} )\in \Gamma \subset R^{n+1}\]
\(\underline{\textit{Общий вид системы дифференциальных уравнений:}}\) \[F_{i} (t,\,y_{1} ,y'_{1} ,...,y_{1}^{(k_{1} )},...,y_{2} ,y'_{2} ,...,y_{2}^{(k_{2} )},...,y_{m} ,y'_{m} ,...,y_{m}^{(k_{m} )} )=0,\] \[i=1,\; 2,\; ...,m\] Здесь \(y_{1} =y_{1} (t),\; y_{2} =y_{2} (t),\; ...\; ,y_{m} =y_{m}(t)\) --- искомые функции, \(k=(k_{1} +k_{2} +...+k_{m})\) - порядок системы дифференциальных уравнений.
\(\underline{\textit{Системы ДУ, разрешённых относительно старших производных:}}\) \[y_{i}^{k_{i} } =f_{i} (t,y_{1} ,y'_{1} ,...,y_{1}^{(k_{1}-1)} ,...,y_{2} ,y'_{2} ,...,y_{2}^{(k_{2}-1)} ,...,y_{m} ,y'_{m} ,...,y_{m}^{(k_{m} -1)} ),\] \[i=1,\; 2,\; ...,m\] \(y_{1} =y_{1} (t),\; y_{2} =y_{2} (t),\; ...\; ,y_{m} =y_{m}(t)\) --- искомые функции, \(k=(k_{1} +k_{2} +...+k_{m})\) --- порядок системы дифференциальных уравнений.
Если \[\forall i=1,\, 2,\, ..\, m,\quad k_{i} =1 \quad\text{и} \quad F_{i} =0\] разрешено относительно \(y'_{i}\), то получим систему дифференциальных уравнений в \(\textbf {канонической (нормальной) форме}:\) \[y'_{i} =f_{i} (t,y_{1} ,y_{2} ,...,y_{m} )\] \[i=1,\; 2,\; ...,m\] Перепишем систему заменяя \(y\) на \(x\):
\begin{equation}\label{1} \left\{\begin{array}{llll}\dot{x}_1=f_1(t,\,x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_n),\\[1ex] \dot{x}_2=f_2(t,\,x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_n), \\[1ex] \ldots \\[1ex] \dot{x}_n=f_n(t,\,x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_n). \end{array}\right. \end{equation} Здесь \(t\) \(-\) независимая переменная, \(x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_n\) \(-\) искомые функции от \(t\), \(\dot{x}_1=\frac{dx_1}{dt},\hspace{1cm} \dot{x}_2=\frac{dx_2}{dt},\hspace{1cm} \ldots \hspace{1cm}\dot{x}_n=\frac{dx_n}{dt}\). Независимая переменная обозначается буквой \(t\) и имеет смысл времени.
\(\textbf{Системы в нормальной форме, таким образом, характеризуются тремя признаками:}\)
1. число уравнений совпадает с числом искомых функций;
2. все уравнения -- только первого порядка;
3. все уравнения разрешены относительно соответствующих производных.
Удобна векторная запись системы (\ref{1}). Введем обозначения: \[X(t)=\left( \begin{array}{ccccc} x_1(t)\\x_2(t)\\\vdots\\x_n(t) \end{array}\right),\, F(t,X)=\left( \begin{array}{ccccc} f_1(t,x_1,x_2,...,x_n)\\f_2(t,x_1,x_2,...,x_n)\\\vdots\\f_n(t,x_1,x_2,...,x_n) \end{array}\right). \] Векторная запись системы (\ref{1}): \begin{equation}\label{2} \dot{X}=F(t,X). \end{equation} Иногда (\ref{2}) называют уравнением, понимая под искомой величиной не скалярную, а векторную функцию \(X=X(t)\) .
Решением системы ДУ в канонической форме \(\dot{X}=F(t,X)\) называют любую вектор-функцию \[X(t)=(x_{1} (t),x_{2} (t),..,x_{n} (t))^T,\] которая при подстановке в систему обращает её в верное тождество по \(t\) на некотором интервале \((r_1,r_2)\). Функция \(x_i(t)\) \(-\) непрерывно дифференцируема на этом интервале \((i=1,2,...,n)\).
\(\textbf{Задача Коши систем ДУ в канонической форме}\) Рассмотрим систему (\ref{1}) \[\dot{X}=\left(\begin{array}{l} {\dot{x}_{1} } \\ {\dot{x}_{2} } \\ {...} \\ {\dot{x}_{n} } \end{array}\right)=F(t,X)=\left(\begin{array}{l} {f_{1} (t,x_{1} ,x_{2} ,..,x_{n} )} \\ {f_{2} (t,x_{1} ,x_{2} ,..,x_{n} )} \\ {..........................} \\ {f_{n} (t,x_{1} ,x_{2} ,..,x_{n} )} \end{array}\right),\] \[(t,x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} )\in \Gamma \subset R^{n+1}.\] Начальные данные \(-\) точка в области \(\Gamma \) \[\left(t_{0} ,x_{1}^{0} ,x_{2}^{0} ,..,x_{n}^{0} \right)=\left(t_{0} ,X^{0} \right).\]
\(\textbf{Задача Коши}\) Найти решение системы (\ref{1}) \(X(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),..,x_{n}(t))^T,\) удовлетворяющее начальным условиям: \[X(t_0)=X^0,\] то есть \[\left\{\begin{array}{l} {x_{1} (t_{0} )=x_{1}^{0} } \\ {x_{2} (t_{0} )=x_{2}^{0} } \\ {...........} \\ {x_{n} (t_{0} )=x_{n}^{0} } \end{array}\right.\]
\(\textbf {Теорема Коши существования и единственности решения}\)
1) \(\forall (t_{0} ,X^{0} )\in \Gamma \; \) существует решение \(X(t)=(x_{1} (t),x_{2} (t),..,x_{n} (t))^T\) системы (\ref{1}), такое что \(X(t_0)=X^0.\)
2) Если два решения системы (\ref{1}) удовлетворяют одним и тем же начальным условиям, то эти решения совпадают всюду, где они совместно определены (единственность в глобальном смысле).
\(\textbf {Общее решение системы}\) в канонической форме \(\dot{X}=F(t,X)\) --- это семейство вектор-функций \[X=X(t,C_1 ,C_2 ,...,C_n),\] ( \(C_1 ,C_2 ,...,C_n\) --- произвольные постоянные) удовлетворяющих следующим двум условиям:
1) \(\forall (t_{0} ,X^{0} )\in\Gamma \quad \exists (C_{1}^{0} ,C_{2}^{0} ,..,C_{n}^{0} ):\;\;X(t_{0} ,C_{1}^{0} ,C_{2}^{0} ,..,C_{n}^{0} )=X^{0}\)
2) функция \(X(t)=X(t,C_{1}^{0} ,C_{2}^{0} ,..,C_{n}^{0} )\), полученная из семейства при этих значениях произвольных постоянных, является решением системы (\ref{1}) в некотором интервале, содержащем точку \(t_0\).
Частные решения получаются при конкретных значениях \((C_{1}^{0} ,C_{2}^{0} ,..,C_{n}^{0} )\) из общего решения.
Математическая модель совместного существования двух биологических видов (популяций) типа ''хищник-жертва'' --- модель Лотки - Вольтерра.
\(\textbf {А.Лотка}\) (1925 г.) использовал модель для описания динамики взаимодействующих биологических популяций.
\(\textbf {В. Вольтерра}\) (1926 г.) \(-\) независимо от Лотки \(-\) аналогичные (и более сложные) модели. Математическая теория биологических сообществ \(\textbf {(математическая экология)}\).
Два биологических вида совместно обитают в изолированной среде. Среда стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве всем необходимым для жизни один из видов, который назовем \(\textbf {жертвой}\).
Другой вид \(-\) \(\textbf {хищник}\) также находится в стационарных условиях, но питается лишь особями первого вида.
караси \(-\) щуки, зайцы \(-\) волки, мыши \(-\) лисы, микробы \(-\) антитела
Для определенности: \(\textbf {караси и щуки}.\)
Караси и щуки живут в изолированном пруду. Среда предоставляет карасям питание в неограниченном количестве, а щуки питаются лишь карасями.
Обозначим \[x=x(t) - число \hspace{2mm} карасей, y=y(t) - число \hspace{2mm} щук.\] Считаем \(x(t)\) и \(y(t)\) непрерывными функциями времени \(t\).Как меняется состояние экосистемы? \[{\frac{dx}{dt}} - {\textrm {скорость изменения численности карасей}}\].
Если ЩУК НЕТ, то число КАРАСЕЙ УВЕЛИЧИВАЕТСЯ в соответствии с законом Мальтуса: тем быстрее, чем больше карасей: \[{\frac{dx}{dt}} = a x, \qquad (a>0),\] коэффициент \(a\) зависит только от условий жизни карасей, их естественной смертности и рождаемости.
\[{\frac{dy}{dt}} - {\textrm {скорость изменения числа щук.}}\]Если КАРАСЕЙ НЕТ, то число ЩУК УМЕНЬШАЕТСЯ (у них нет пищи) и они вымирают. Будем считать, что \[{\frac{dy}{dt}} = -b y, \qquad (b>0).\]
Взаимодействие двух этих видов моделируется так. Жертвы вымирают со скоростью, равной числу встреч хищников и жертв, которое в данной модели предполагается пропорциональным численности обеих популяций:\( \quad -cxy \qquad (c > 0). \) Поэтому \[{\frac{dx}{dt}} = ax - cxy.\] Хищники размножаются со скоростью, пропорциональной числу съеденных жертв: \[{\frac{dy}{dt}} = -by + dxy, \] где \(d > 0. {\textrm {Система уравнений - модель Лотки-Вольтерра:}}\) \begin{equation}\label{3} \left\{ \begin{array}{llll} {\frac{dx}{dt}} & =& ax - cxy,\\[2ex] {\frac{dy}{dt}} & =& -by + dxy. \end{array}\right. \end{equation} В экономике используются подобные (более сложные) модели ''хищник--жертва'', в частности, для моделирования \(\textbf {конкурентной борьбы}:\) \(x\) - число фирм, находящихся на рынке - жертвы (караси), \(y\) \(-\) число фирм, решающих задачу захвата рынка и вытеснения с него \(x\) фирм -- хищники (щуки). \[{\bigtriangleup}\]
Дано уравнение \begin{equation}\label{4} y^{(n)} =f(t,y,y',...,y^{(n-1)}). \end{equation} Произведём замену: \[\left\{\begin{array}{l} {x_{1} =y} \\ {x_{2} =y'} \\ {x_{3} =y''} \\ {} \\ {x_{n} =y^{(n-1)} } \end{array}\right.\]
Заметим, что \begin{equation}\label{5} \left\{\begin{array}{l} {\dot{x}_{1} =y'=x_{2} = f_{1} (t,x_{1} ,x_{2} ,..,x_{n} )} \\ {\dot{x}_{2} = y''=x_{3} =f_{2} (t,x_{1} ,x_{2} ,..,x_{n} )} \\ {..................................} \\ {\dot{x}_{n-1} =y^{(n-1)} =x_{n} =f_{n-1} (t,x_{1} ,x_{2} ,..,x_{n} )} \\ {\dot{x}_{n} =y^{(n)} =f(t,x_{1} ,x_{2} ,..,x_{n} )} \end{array}\right. \end{equation} Если \(X(t)=(x_{1} (t),x_{2} (t),..,x_{n} (t))\)- решение системы (\ref{5}), то \(y=x_{1}(t)\) \(-\) является решением уравнения (\ref{4}). Наоборот, если \(y=y(t)\) - решение уравнения (\ref{4}), то \[(x_{1} (t),x_{2} (t),..,x_{n} (t))=(y(t),y'(t),...,y^{(n-1)} (t))\] \(-\) решение системы (\ref{5}).
Дано уравнение \((4)\) \(y^{(n)} =f(t,y,y',...,y^{(n-1)})\) с начальными условиями \[y(t_{0} )=y_{0} ,\; y'(t_{0} )=y'_{0} ,\; ...,\, y^{(n-1)} (t_{0} )=y_{0}^{(n-1)}.\] Требуется найти решение \(y=y(t)\) уравнения (\ref{4}), удовлетворяющее указанным начальным условиям. Теорему существования и единственности этой задачи получим как следствие теоремы Коши для системы уравнений. С этой целью преобразуем уравнение (\ref{4}) в систему уравнений (\ref{5})
\[\left\{\begin{array}{l} {\dot{x}_{1} =x_{2} } \\ {\dot{x}_{2} =x_{3} } \\ {..........} \\ {\dot{x}_{n-1} =x_{n} } \\ {\dot{x}_{n} =f(t,x_{1} ,x_{2} ,..,x_{n} )} \end{array}\right.\] Правые части первых \((n-1)\) уравнений системы (\ref{5}) удовлетворяют условиям теоремы во всём пространстве, поэтому ограничения коснутся только последнего уравнения. Приходим к следствию для уравнения: Если функция \(f(t,y,y',...,y^{(n-1)} )\) непрерывна в области \(\Gamma\) переменных \(t,y,y',y'',...,y^{(n-1)}\) вместе с \(\frac{\partial f}{\partial y} ,\; \, \frac{\partial f}{\partial y'} ,\; ...,\; \frac{\partial f}{\partial y^{(n-1)} } \), то задача Коши имеет решение для любой точки этой области, единственное в глобальном смысле.