Рассмотрим автономную систему ДУ. \begin{equation}\label{10} \dot{X}=F(X). \tag{10} \end{equation} \[X=(x_{1} ,x_{2} ,\ldots ,x_{n} )^T, \] \[F(X)=\left(f_{1} (x_{1} ,x_{2} ,\ldots ,x_{n} ),f_{2} (x_{1} ,x_{2} ,\ldots ,x_{n} ), \ldots ,f_{n} (x_{1} ,x_{2} ,\ldots ,x_{n} )\right)^T. \] В скалярной форме система (\ref{10}) имеет вид \begin{equation}\label{11} \dot{x}_{i} =f_{i} (x_{1} ,x_{2} ,\ldots ,x_{n} ),\quad i=\overline{1,n}, \tag{11} \end{equation} Функции \(f_{i} (x_{1} ,x_{2} ,\ldots ,x_{n} )\) непрерывными вместе с \( \frac{\partial f_{i} }{\partial x_{k} } \quad \; (i,k=\overline{1,n})\) в \( \Gamma \) пространства \(x_{1} ,x_{2} ,\ldots ,x_{n}\).
\( \underline{Определение} \textbf{. Первым интегралом системы} \quad \dot{X}=F(X)\) в области \(G\subset \Gamma \) называется функция \(U(X)=U(x_{1} ,x_{2} ,\ldots ,x_{n} )\), если 1) \(U(X)\) определена и непрерывна вместе со своими частными производными \(\frac{\partial U}{\partial x_{i} } \quad \; (i=\overline{1,n})\) в области \(G\). 2) Для любого решения \(X=\varphi (t)=\left(\varphi _{1}(t),\varphi _{2} (t),\ldots ,\varphi _{n}(t)\right)\), график которого не покидает области \(G\), справедливо соотношение: \[U(\varphi (t))=U\left(\varphi _{1} (t),\varphi _{2} (t),\ldots ,\varphi _{n} (t)\right)=const.\]
\(\underline{Замечания: } \)
1). Предполагаем, что \(U(X)\) - не есть тождественная константа.
2). При замене одного решения \(X=\varphi^{(1)}(t)\) другим \(X=\varphi ^{(2)} (t)\) величина \(U(\varphi (t))\) может измениться.
3). Если \(U(X)\) - первый интеграл, то первым интегралом называют также уравнение \(U(X)=C\).
\( (\Rightarrow)\quad \) Пусть \( U(X) \) - первый интеграл, тогда \(\forall t\quad \frac{dU}{dt} (\varphi (t,\xi ))=0 \). Возьмём \(t=0\). \[\sum _{i=1}^{n}\frac{\partial U}{\partial x_{i} } (\varphi (0,\xi )) \cdot f_{i} (\varphi (0,\xi ))=\sum _{i=1}^{n}\frac{\partial U}{\partial x_{i} } (\xi ) \cdot f_{i} (\xi )=0\quad \forall \xi \in G. \] Значит (роль \(X\) играет \(\xi\) выполняется \[\forall X\in G\; \; \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial U}{\partial x_{i} } (X) \cdot f_{i} (X)=0.\]
\( (\Leftarrow )\quad \) Пусть \( \forall X\in G\; \; \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial U}{\partial x_{i} } (X) \cdot f_{i} (X)=0 \). Заметим, что левая часть равенства -- полная производная функции \(U(\varphi (t,\xi ))\), \(X=\varphi (t,\xi )\). Теперь \[\frac{dU}{dt} \; (\varphi (t,\xi ))=\sum _{i=1}^{n}\frac{\partial U}{\partial x_{i} } (\varphi (t,\xi )) \cdot f_{i} (\varphi (t,\xi ))=0. \] Отсюда \( U(\varphi (t,\xi ))=const \). ( Таким образом, \( U(X) \) - первый интеграл). \( \textbf{Теорема доказана.} \)
Если \( X_{0} \in \Gamma \) и \(F(X_{0} )=0\), точка \(X_{0} \) называется точкой \(\textbf {покоя}\) или равновесия. Дело в том, что система имеет решение \( X\equiv X_{0} \). Далее изучаем первые интегралы в окрестности точки \( X_{0} \), для которых \(F(X_{0} )\ne 0\).
\( \underline {Определение}. \) Первые интегралы \( U_{1} (X),U_{2} (X),\ldots ,U_{m} (X) \) (\(m < n\)) называются независимыми в некоторой окрестности точки \(X_{0} \), для которой \(F(X_{0} )\ne 0\), если матрица, составленная из частных производных этих первых интегралов \( \left\{\frac{dU_{j} }{dx_{i} } \left(X_{0} \right),\quad 1\le j\le m,\; 1\le i\le n\right\}\) имеет ранг \(m\).
Если \( i=\overline{1,m} \), то по критерию первого интеграла имеем \[\frac{dy_{i} }{dt} =\frac{dU_{i} (X)}{dt} =\sum _{i=1}^{n}\frac{\partial U_{i} (X)}{\partial x_{i} } f_{i} (X)=0, \] поэтому получаем \(y_{1} =C_{1} ,y_{2} =C_{2} ,\ldots ,y_{m} =C_{m} \). Система перепишется в виде \[\left\{\begin{array}{l} {\dot{y}_{m+1} =g_{m+1} \left(C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{m} ,y_{m+1} ,\ldots ,y_{n} \right)\quad } \\ {\dot{y}_{m+2} =g_{m+2} \left(C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{m} ,y_{m+1} ,\ldots ,y_{n} \right)} \\ {\cdots } \\ {\dot{y}_{n} =g_{n} \left(C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{m} ,y_{m+1} ,\ldots ,y_{n} \right)} \end{array}\right. ,\] т. е. получили систему порядка \(n-m\). \( \textbf{Теорема доказана.}\)
В случае, когда \(m=n-1\), т. е. \(\dot{y}_{n} =g_{n} \left(C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n-1} ,y_{n} \right)\), нужно решить одно дифференциальное уравнение.
В случае, когда \(m=n\), \(U_{1} =C_{1} ,U_{2} =C_{2} ,\ldots ,U_{n} =C_{n} \).
В общем случае решения находятся в виде: \[\left\{\begin{array}{l} {y_{m+1} =y_{m+1} \left(t,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{m} ,C_{m+1} ,\ldots ,C_{n} \right)\quad } \\ {y_{m+2} =y_{m+2} \left(t,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{m} ,C_{m+1} ,\ldots ,C_{n} \right)} \\ {\cdots } \\ {y_{n} =y_{n} \left(t,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{m} ,C_{m+1} ,\ldots ,C_{n} \right)} \end{array}\right. .\] Как искать первые интегралы.
От системы \[\left\{\begin{array}{l} {\dot{x}_{1} =f_{1} (x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} )} \\ {\dot{x}_{2} =f_{2} (x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} )} \\ {......................} \\ {\dot{x}_{n} =f_{n} (x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} )} \end{array}\right. \] перейдем к системе \[\left\{\begin{array}{l} {dt=\frac{dx_{1} }{f_{1} (x_{1} ,\,x_{2} ,\,...,\,x_{n} )} } \\ {dt=\frac{dx_{2} }{f_{2} (x_{1} ,\,x_{2} ,\,...,\,x_{n} )} } \\ {...................} \\{dt=\frac{dx_{n} }{f_{n} (x_{1} ,\,x_{2} ,\,...,\,x_{n} )} } \end{array}\right.\] получим систему в симметрической форме: \[\frac{dx_{1} }{f_{1} (X)} =\frac{dx_{2} }{f_{2} (X)} =\cdots =\frac{dx_{n} }{f_{n} (X)}.\] Решения дадут первые интегралы. Иногда получается найти решения только части уравнений, тогда мы получаем соответственно столько же и первых интегралов.