Пусть дана система \begin{equation}\label{13} \left\{\begin{array}{l} {\dot{x}_{1} =f_{1} (t,x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} )} \\ {\dot{x}_{2} =f_{2} (t,x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} )} \\ {........................} \\ {\dot{x}_{n} =f_{n} (t,x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} )} \end{array}\right. \tag{13} \end{equation} Возьмём первое уравнение, продифференцируем его \(n\) раз, заменяя производные \( \frac{dx_{i} }{dt} \quad i=\overline{1,n}\) правыми частями системы. \[\begin{array}{l} {\frac{d^{2} x_{1} }{dt^{2} } =\frac{\partial f_{1} }{\partial t} +\sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f_{1} }{\partial x_{i} } \frac{dx_{i} }{dt} =\frac{\partial f_{1} }{\partial t} +\sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f_{1} }{\partial x_{i} } f_{i} =f_{2}^{*} \left(t,x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} \right)} \\[4ex] {\frac{d^{3} x_{1} }{dt^{3} } =\frac{\partial f_{2}^{*} }{\partial t} +\sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f_{2}^{*} }{\partial x_{i} } \frac{dx_{i} }{dt} =\frac{\partial f_{2}^{*} }{\partial t} + \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f_{2}^{*} }{\partial x_{i} } f_{i} =f_{3}^{*} \left(t,x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} \right)} \end{array}\] И далее \[\frac{d^{n-1} x_{1} }{dt^{n-1} } =f_{n-1}^{*} \left(t,x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} \right),\] \begin{equation}\label{14} \frac{d^{n} x_{1} }{dt^{n} } =f_{n}^{*} \left(t,x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} \right). \tag{14} \end{equation}
Рассмотрим систему \begin{equation}\label{15} \left\{\begin{array}{l} {\frac{dx_{1} }{dt} =f_{1} (t,x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} )} \\ {\frac{dx_{1} }{dt^{2} } =f_{2}^{*} (t,x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} )} \\ {..........................} \\ {\frac{dx_1^{n-1} }{dt^{n-1} } =f_{n-1}^{*} (t,x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} )} \end{array}\right. \tag{15} \end{equation} Предположим, что выполнены условия, при которых эта система определяет \(x_{2} ,x_{3} ,\ldots ,x_{n}\), т.е. \begin{equation}\label{16} \left\{\begin{array}{l} {x_{2}=g_{2}^{*}(t,x_{1} ,\frac{dx_{1} }{dt } ,\ldots ,\frac{d^{n-1} x_{1} }{dt^{n-1} } )} \\ {............................} \\ {x_{n} =g_{n}^{*} (t,x_{1} ,\frac{dx_{1} }{dt } ,\ldots ,\frac{d^{n-1} x_{1} }{dt^{n-1} } )} \end{array}\right. \tag{16} \end{equation}
Тогда, подставив их в уравнение (\ref{14}), получим уравнение \(n\)-го порядка \begin{equation}\label{17} \frac{d^{n} x_{1} }{dt^{n} } =\Phi \left(t,x_{1} ,\frac{dx_{1} }{dt} ,\ldots ,\frac{d^{n-1} x_{1} }{dt^{n-1} } \right). \tag{17} \end{equation} Пусть найдено общее решение уравнения \[x_{1} =\varphi (t,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} ). \] Подставляя эту функцию в формулы (\ref{16}), вычисляем \(x_{2} ,x_{3} ,\ldots ,x_{n}\) как функции \( t,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} \). Вместе с функцией \[x_{1} =\varphi (t,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} ) \] они составляют общее решение системы (\ref{13}).