Линейная система ДУ \(n\)-го порядка: \[\left\{\begin{array}{l} {\dot{x}_{1} =a_{11} (t)x_{1} +a_{12} (t)x_{2} +\ldots +a_{1n} (t)x_{n} +f_{1} (t)} \\ {\dot{x}_{2} =a_{21} (t)x_{1} +a_{22} (t)x_{2} +\ldots +a_{2n} (t)x_{n} +f_{2} (t)} \\ {...............................................} \\ {\dot{x}_{n} =a_{n1} (t)x_{1} +a_{n2} (t)x_{2} +\ldots +a_{nn} (t)x_{n} +f_{n} (t)} \end{array}\right. \] где искомые функции \(x_{1} (t),x_{2} (t),\ldots ,x_{n} (t)\).
В сокращённом виде систему записывают так: \[\dot{x}_{i} =\sum _{k=1}^{n}a_{ik} (t)x_{k} +f_{i} (t) ,\quad i=1,\; 2,\, \ldots ,\, n,\] где \(\dot{x}_{i} =\frac{dx_{i} }{dt} \).
Введём обозначения: \[X=\left(\begin{array}{l} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {\, \, \vdots } \\ {x_{n} } \end{array}\right), \hspace{0.5cm} F(t)=\left(\begin{array}{l} {f_{1} (t)} \\ {f_{2} (t)} \\ {\, \; \; \, \vdots } \\ {f_{n} (t)} \end{array}\right), \hspace{0.5cm} A(t)=\left\{a_{ij} (t)\right\}_{i,j=1}^{n} , \hspace{0.5cm} \dot{X}=\left(\begin{array}{l} {\dot{x}_{1} } \\ {\dot{x}_{2} } \\ {\, \, \vdots } \\ {\dot{x}_{n} } \end{array}\right)\] Тогда система линейных дифференциальных уравнений запишется: \[\begin{equation} \label{1}\dot{X}=A(t)X+F(t),\quad X\in R^{n}.\tag{1}\end{equation}\] Можно воспринимать систему линейных ДУ как векторное дифференциальное уравнение.
Возьмём \[t\in (r_{1} ,r_{2} ),\; \; \; X=(x_{1} ,x_{2} ,\ldots ,x_{n} )\in R^{n}.\] Применим теорему Коши к системе (\ref{1}), получим, что система (\ref{1}) имеет всегда единственное решение на \((r_{1},r_{2})\) при начальных условиях \[X(t_{0} )=X^{0} ,\; t_0\in (r_{1} ,r_{2} ),\; \; \;X^{0}=\left(\begin{array}{l} {x_{1}^{0} } \\ {x_{2}^{0} } \\ {\, \, \vdots } \\ {x_{n}^{0} } \end{array}\right)\in R^{n} \] Система линейных дифференциальных уравнений (\ref{1}) \(\dot{X}=A(t)X+F(t),\quad X\in R^{n} \) - неоднородная система. Если \(F(t)\equiv 0\), то \(\dot{X}=A(t)\cdot X,\quad X\in R^{n} \) - однородная система.
Пусть \(X(t)\) -- решение однородной системы и пусть при некотором значении \(t=t_0\) \(X(t_0)=0,\) тогда \(X(t)\equiv0,\) \(t\in(\alpha,\beta).\)
Однородная система обладает тривиальным решением \(X\equiv 0\). Это решение удовлетворяет начальным условиям \(t=t_0.\) В силу теоремы Коши о существовании и единственности решения эти решения совпадают.
Если \(X=X_{s} (t)\quad s=1\, ,2,\, \ldots ,S\) являются решениями уравнений \[\dot{X}=A(t)X+F_{s} (t),\quad X\in R^{n} ,\] то \(X=\sum _{s=1}^{S}\alpha _{s} X_{s} (t)\) - решение следующей системы \[\dot{X}=A(t)X+\sum _{s=1}^{S}\alpha _{s} F_{s} (t) ,\quad X\in R^{n} .\]
1. Линейная комбинация решений однородной системы также является решением этой системы.
2. Разность произвольных решений неоднородной системы является решением соответствующей однородной системы.
3. Вектор-функция \(X=U(t)+iV(t)\), где \(U(t)\),\(V(t)\) -- действительные вектор-функции, является решением системы
\[\dot{X}=A(t)X+F_{1} (t)+iF_{2} (t),\quad X\in R^{n},\]
где \(F_{1}(t)\), \(F_{2}(t)\) -- также действительные вектор-функции,
\[\Updownarrow \]
\(X=U(t)\) - решение \(\dot{X}=A(t)X+F_{1} (t),\quad X\in R^{n} \) и
\(X=V(t) - решение \dot{X}=A(t)X+F_{2} (t),\quad X\in R^{n} \).
Все следствия проверяются подстановкой. Введём вспомогательные обозначения:
\[X_1=\left(\begin{array}{l} {x_{11} } \\ {x_{21} } \\ {\, \, \vdots } \\ {x_{n1} } \end{array}\right), \hspace{0.5cm}
X_2=\left(\begin{array}{l} {x_{12} } \\ {x_{22} } \\ {\, \, \vdots } \\ {x_{n2} } \end{array}\right),
\ldots,
X_n=\left(\begin{array}{l} {x_{1n} } \\ {x_{2n} } \\ {\, \, \vdots } \\ {x_{nn} } \end{array}\right),
\]
\[Y(t)=\left\{X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\right\}
\]
Матрица \(Y(t)\) состоит из столбцов
\[X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t).\]
Рассмотрим систему
\[\dot{X}=A(t)X,\quad X\in R^{n},\]
и пусть \(X_{1} ,\; X_{2} ,\ldots ,X_{n} \) - решения этой системы. Имеем представление
\[\dot{x}_{ik} =\sum _{j=1}^{n}a_{ij} (t)x_{jk} ,\quad i=1,\; 2,\, \ldots ,\, n,\quad \; k=1,\; 2,\, \ldots ,\, n,\]
что можно записать в матричной форме
\[\begin{equation} \label{2}\dot{Y}=A(t)Y, \tag{2}\end{equation}\]
так \(Y =\left\{X_{1} ,\; X_{2} ,\ldots ,X_{n} \right\}\) - решение матричного уравнения (\ref{2}).
Вектор-функции \(X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\) линейно зависимы при \(\; t\in (r_{1} ,r_{2} )\),
если
\[\exists C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} :\quad \sum _{i=1}^{n}C_{i}^{2} \ne 0\quad \sum _{i=1}^{n}C_{i} X_{i}(t) =0.\]
Если из
\[\sum _{i=1}^{n}C_{i} X_{i} =0\Rightarrow \forall i=1,\, 2,\, \ldots ,\, n\quad C_{i} =0,\]
тогда вектор-функции \(X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\) линейно независимы.
Обозначим
\[C=\left(\begin{array}{l} {C_{1} } \\ {C_{2} } \\ {\, \, \vdots } \\ {C_{n} } \end{array}\right), \]
тогда
\[Y(t)C=\sum _{i=1}^{n}C_{i} X_{i} (t).\]
\(\textbf{Определителем Вронского}\) системы вектор-функций
\[X_{1} (t)\in R^{n} ,\; X_{2} (t)\in R^{n} ,\ldots ,X_{n} (t)\in R^{n}\]
называют \(W(t)=\det Y(t)\).
1). Если \(n\)-мерные вектор-функции \(X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\) линейно зависимы при \(\; t\in (r_{1} ,r_{2} )\), то определитель Вронского этой системы нулевой, т.е. \(W(t)=0\quad t\in (r_{1} ,r_{2} )\).
2). Если же функции \(X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\) - решения однородной системы \(\dot{X}=A(t)X,\quad X\in R^{n} \) и линейно независимы, то \(W(t)\ne 0\quad t\in (r_{1} ,r_{2} )\).
Утверждение1 доказано.
Так как линейная комбинация решений -- тоже решение, т. е. \[\hspace{2cm}X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\] - система решений системы \(\dot{X}=A(t)X\) (или решение уравнения \(Y(t)C=0\)), значит \(X(t)=Y(t)\bar{C}=\sum _{i=1}^{n}\bar{C}_{i} X_{i} \) - решение \(\dot{X}=A(t)\cdot X,\quad X\in R^{n} \).
Но и тривиальное решение \(X\equiv 0\) удовлетворяет условию \(X(t_0)=0\).
В силу однозначности решения задачи Коши \(t\in (r_{1} ,r_{2} )\) \(X(t)=Y(t)\bar{C}\equiv 0\), то есть \(\sum _{i=1}^{n}\bar{C}_{i} X_{i} \equiv 0\), отсюда \(X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\) - линейно зависимы, получили противоречие с линейной независимостью \(X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\). Утверждение 2 доказано.
Фундаментальной системой решений однородной системы уравнений \(n\)-го порядка
\[\dot{X}=A(t)\cdot X,\quad X\in R^{n}\]
называют набор из \(n\) линейно независимых решений этой системы
\[X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t).\]
Матрицу \(Y(t)=\left\{X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\right\}\) называют фундаментальной матрицей, если
\[Y(t_{0})=E,\]
\(Y(t)\) называют нормальной фундаментальной матрицей. Здесь \(E\) \(-\) матрица тождественного преобразования.
Из выше доказанной теоремы получаем
Система решений \(X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\) фундаментальна \[\Leftrightarrow \exists t_{0} \in (r_{1} ,r_{2} )\quad \; W(t_{0} )\neq0.\]
1). Любая система \(\dot{X}=A(t)\cdot X,\quad X\in R^{n} \) имеет ФСР. 2). Если \(Y(t)\) \(-\) фундаментальная матрица векторного уравнения \(\dot{X}=A(t)\cdot X\), то всякое решение этого векторного уравнения представимо в виде \(X(t)=Y(t)\cdot C,\; \)где \(C=(C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} )\) - вектор произвольных постоянных.
1). Возьмём \(Y^{0}\) \(-\) постоянная матрица, \(\det Y^{0} \ne 0.\) Рассмотрим задачу Коши:
\[\begin{array}{l} {\dot{Y}=A(t)Y} \\ {Y(t_{0})=Y^{0} } \end{array},\]
где \(t_{0} \in (r_{1} ,r_{2}).\) Столбцы \(Y(t)\) есть
\[X_{1} (t)\in R^{n} ,\; X_{2} (t)\in R^{n} ,\ldots ,X_{n} (t)\in R^{n}\]
\(-\) решения соответствующей системы \(\dot{X}=A(t)X\).
В силу единственности решения задачи Коши \(Y(t)\) найдется единственным образом.
Определитель Вронского системы вектор-функций \[X_{1} (t)\in R^{n} ,\; X_{2} (t)\in R^{n} ,\ldots ,X_{n} (t)\in R^{n}\] есть \[W(t)=\det Y(t),\quad W(t_{0})=\det Y(t_{0})=\det Y^{0} \ne 0.\] По критерию фундаментальности \(Y(t)\) \(-\) фундаментальная матрица.
В силу того, что матрицу \(Y^{0}\), \(\det Y^{0} \ne 0\) можно выбирать бесконечно многими способами, то существует бесконечное число фундаментальных матриц, соответствующих данному векторному уравнению \(\dot{Y}=A(t)\cdot Y\) иначе, существует бесконечно много ФСР \[X_{1} (t)\in R^{n} ,\; X_{2} (t)\in R^{n} ,\ldots ,X_{n} (t)\in R^{n}\] для системы \(\dot{X}=A(t)X\).
2). Пусть \(Y(t)\) \(-\) фундаментальная матрица решений системы \(\dot{X}=A(t)\cdot X\), \(X=\bar{X}(t)\) - какое-то решение этой системы, возьмём какое-то \[t_{0} \in (r_{1} ,r_{2} ),\quad X^{0} =\bar{X}(t_{0} ).\] Рассмотрим уравнение \[Y(t_{0})\cdot C=X^{0},\] (\(Y(t_{0}\)) \(-\) невырожденная матрица), далее получаем \[C=Y^{-1} (t_{0} )X^{0},\] тогда \[X(t)=Y(t)\cdot C=Y(t)\cdot Y^{-1} (t_{0} )X^{0} ,\] \[X(t_{0} )=Y(t_{0} )\cdot C=Y(t_{0} )\cdot Y^{-1} (t_{0} )X^{0} =X^{0} ,\] получили \(X^{0} =X(t_{0} )\) (т. е. \(X(t_{0})\) удовлетворяет начальному условию задачи Коши).
В силу единственности решения задачи Коши \(\bar{X}(t)\equiv X(t)\), отсюда
\[\bar{X}(t)=Y(t)\cdot Y^{-1} (t_{0} )X^{0} =Y(t)\cdot C.\]
Обозначим \(K(t,t_{0} )=Y(t)Y^{-1} (t_{0}),\) тогда любое решение задачи Коши
\[\left\{\begin{array}{l} {\dot{X}=A(t)X} \\ {X(t_{0} )=X^{0} } \end{array}\right.\]
выглядит так:
\[X(t)=K(t,t_{0} )X^{0}.\]
Матрица \(K(t,t_{0} )\) \(-\) импульсная матрица системы или матрица Коши;
\(K(t,t_{0} )\) \(-\) фундаментальная и нормальная, однозначно определяется соотношениями
\[\left\{\begin{array}{l} {\frac{dK(t,t_{0} )}{dt} =A(t)K(t,t_{0} )} \\ {K(t_{0} ,t_{0} )=E} \end{array}\right.\]
Здесь \(t_{0 }\) -- фиксированный параметр.
\(\textbf{Теорема доказана.}\)
Пусть дана линейная система \(\dot{X}=A(t)X\), \(X\in R^{n} \) , распишем её в виде \[\begin{equation} \label{3}\dot{x}_{i} =a_{i1} (t)x_{1} +a_{i2} (t)x_{2} +\ldots +a_{in} (t)x_{n} \quad \quad i=\overline{1,n}, \tag{3}\end{equation}\] столбцы \(X_{1} ,X_{2} ,\ldots ,X_{n} \) - решение уравнения, рассмотрим определитель Вронского для этих решений \[\begin{array}{l} {\quad \quad \quad \underline{X_{1} \; X_{2} \, \ldots \, X_{n} }} \\ {W(t)=\left|\begin{array}{l} {x_{11} \; x_{12} \, \ldots \, x_{1n} } \\ {x_{21} \; x_{22} \, \ldots \, x_{2n} } \\ {\, \vdots \, \, \, \; \; \, \vdots \quad \, \vdots \quad \vdots } \\ {x_{n1} \; x_{n2} \, \ldots \, x_{nn} } \end{array}\right|\quad \left|\begin{array}{l} {z_{1} } \\ {z_{2} } \\ {\, \vdots } \\ {z_{n} } \end{array}\right. } \end{array},\]
т. е. за \(z_{i} \) обозначим векторы строки определителя \[z_{i} =(x_{i1} \; x_{i2} \, \ldots \, x_{in} )\; \; i=\overline{1,n}.\] Подставим поочерёдно \(X_{1} ,X_{2} ,\ldots ,X_{n} \) в уравнение (\ref{3}). \[\begin{equation} \label{4}\hspace{1cm} \left\{\begin{array}{l} {\dot{x}_{i1} =a_{i1} (t)x_{11} +a_{i2} (t)x_{21} +\ldots +a_{in} (t)x_{n1} } \\ {\dot{x}_{i2} =a_{i1} (t)x_{12} +a_{i2} (t)x_{22} +\ldots +a_{in} (t)x_{n2} } \tag{4} \\ {...........................................} \\ {\dot{x}_{in} =a_{i1} (t)x_{1n} +a_{i2} (t)x_{2n} +\ldots +a_{in} (t)x_{nn} } \end{array}\right.\end{equation} \] Систему (\ref{4}) запишем в векторной форме \[\begin{equation} \label{5}\dot{z}_{i} =a_{i1} (t)z_{1} +a_{i2} (t)z_{2} +\ldots +a_{in} (t)z_{n} \quad \quad i=\overline{1,n}. \tag{5}\end{equation}\] Для вычисления производной определителя Вронского воспользуемся правилом \[\dot{W}(t)=W_{1} +W_{2} +\ldots +W_{n}.\] \[W_{i} =\left|\begin{array}{l} {z_{_{1} } } \\ {z_{2} } \\ {...} \\ {\dot{z}_{i} } \\ {...} \\ {z_{n} } \end{array}\right|= \left|\begin{array}{l} {\quad \quad \quad \quad \quad \quad z_{_{1} } } \\ {\quad \quad \quad \quad \quad \quad z_{2} } \\ {\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots } \\ {a_{i1} (t)z_{1} +a_{i2} (t)z_{2} +\ldots +a_{in} (t)z_{n} } \\ {\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots } \\ {\quad \quad \quad \quad \quad \quad z_{n} } \end{array}\right|=\] \[=\left|\begin{array}{l} {\quad z_{_{1} } } \\ {\quad z_{2} } \\ {\quad \ldots } \\ {a_{i1} (t)z_{1} } \\ {\quad \ldots } \\ {\quad z_{n} } \end{array}\right|+\ldots +\left|\begin{array}{l} {\quad z_{_{1} } } \\ {\quad z_{2} } \\ {\quad \ldots } \\ {a_{ii} (t)z_{i} } \\ {\quad \ldots } \\ {\quad z_{n} } \end{array}\right|+\ldots +\left|\begin{array}{l} {\quad z_{_{1} } } \\ {\quad z_{2} } \\ {\quad \ldots } \\ {a_{in} (t)z_{n} } \\ {\quad \ldots } \\ {\quad z_{n} } \end{array}\right|= \left|\begin{array}{l} {\quad z_{_{1} } } \\ {\quad z_{2} } \\ {\quad \ldots } \\ {a_{ii} (t)z_{i} } \\ {\quad \ldots } \\ {\quad z_{n} } \end{array}\right|\] \[W_{i} =a_{ii} (t)W(t)\] \[\dot{W}(t)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii} (t)W(t)\] или \[\dot{W}(t)=S(t)W(t),\] где \(S(t)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii} (t)\) \(-\) след матрицы \(A(t)\).Решение уравнения \(\dot{W}(t)=S(t)W(t)\) записываются в виде \[W(t)=W(t_{0} )e^{-\int _{t_{0} }^{t}S(\tau )d\tau }\] или \[W(t)=C_{1} e^{-\int S(\tau )d\tau }.\] Эти формулы называют формулами Лиувилля-Остроградского для линейной системы уравнений \[\dot{x}_{i} =\sum _{k=1}^{n}a_{ik} x_{k} \quad i=\overline{1,n}.\]