\[\begin{equation} \label{6}\dot{X}=A(t)X+B(t). \tag{6}\end{equation}\]
Общее решение системы (\ref{6}) является суммой общего решения соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения данной неоднородной системы.
\(Y(t)\) \(-\) фундаментальная матрица соотв. однородной системы,
\(X=X(t)\) \(-\) произвольное решение неоднородной системы (\ref{6}),
\(X= \overline{X}(t)\) \(-\) какое-нибудь ее частное решение.
По Сл.2 из Т.о принципе суперпозиции разность \(X(t)-\overline{X}(t)\) --- решение соответствующей однородной системы, следовательно \[X(t)-\overline{X}(t)=Y(t)C,\] \[X(t)=Y(t)C+\overline{X}(t).\]
Если известно общее решение однородной системы, соответствующей неоднородной системе (\ref{6}), то общее решение этой неоднородной системы находится с помощью квадратур.
Доказательство теоремы \(-\) методом Лагранжа вариации произвольных постоянных. В формуле общего решения \[X=Y(t)C\] будем считать произвольные постоянные функциями \(t\): \[\begin{equation} \label{7}X=Y(t)\, C(t).\tag{7}\end{equation}\] По условию фундаментальная матрица \(Y(t)\) известна. Подставим (\ref{7}) в неоднородную систему (\ref{6}) \[\hspace{2cm}\dot{Y}(t)C(t)+Y(t)\dot{C}(t)=A(t)Y(t)C(t)+B(t).\] Если столбцы фундаментальной матрицы \(X_1(t),\, X_2(t),\ldots,X_n(t)\) удовлетворяют векторному уравнению
\(\dot{X}=A(t)X\), то сама матрица удовлетворяет матричному уравнению \(\dot{Y}=A(t)Y.\)
Полученное равенство
\[\begin{equation} \label{8}Y(t)\dot{C}(t)=B(t) \tag{8}\end{equation}\]
умножим слева на \(Y^{-1}(t)\) (матрица \(Y(t)\) невырожденная), получим
\[\dot{C}(t)=Y^{-1}(t)B(t).\]
\[C(t)=\int\limits_{t_0}^t Y^{-1}(\tau)B(\tau)d\tau+\overline{C}. \]
где \(\overline{C}\) -- столбец произвольных постоянных.
Подставляем это выражение в формулу\qu \(X=Y(t)\,C(t)\):
\[\begin{equation} \label{9} X=Y(t)\overline{C}+\int\limits_{t_0}^t Y(t)\,Y^{-1}(\tau)B(\tau)d\tau. \tag{9}\end{equation}
\]
Коши с начальными условиями \(X(t_0)=X^0:\) \[X^0=Y(t_0)\overline{C},\text{тогда } \overline{C}=Y^{-1}(t_0)X^0.\] \[\begin{equation} \label{10}X=Y(t)\,Y^{-1}(t_0)\,X^0+\int\limits_{t_0}^t Y(t)\,Y^{-1}(\tau)B(\tau)d\tau. \tag{10}\end{equation} \] Равенство (\ref{10}) носит название \(\textbf{формулы Коши}.\)
Решить систему \[\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=y,\\ \dot{y}=-x+ \sin t. \end{array} \right.\] Соответствующей однородной будет система \[\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=y\\ \dot{y}=-x. \end{array} \right.\] Вектор-функции \[X_1=\binom {\cos t}{-\sin t}, \hspace{1cm} X_2=\binom {\sin t}{\cos t} \] образуют фундаментальную систему решений однородной системы.
В общем решении \[\binom{x}{y}=C_1\,\binom{\cos t}{-\sin t}+C_2\,\binom{\sin t}{\cos t}\] варьируем произвольные постоянные \(C_1=C_1(t)\) и \(C_2=C_2(t)\) и выписываем алгебраическую систему с неизвестными \(\dot{C}_1\) и \(\dot{C}_2\) по образцу системы \(Y(t)\dot{C}(t)=B(t):\) \[\left\{ \begin{array}{lll} &&\dot{C}_1\,\cos t+\dot{C}_2\,\sin t=0,\\ &-&\dot{C}_1\,\sin t+\dot{C}_2\,\cos t=\sin t. \end{array} \right.\] Основной определитель системы равен 1. \[\dot{C}_1=-\sin^2 t, \hspace{2cm} \dot{C}_2=\sin t\,\cos t,\] \[C_1=\frac14\sin 2t-\frac{t}{2}+\overline{C}_1, \hspace{1cm} C_2=\frac{\sin^2t}{2}+\overline{C}_2.\] В общем решении заменяем \(C_1\) и \(C_2\) полученными функциями: \[\binom{x}{y}=\overline{C}_1\,\binom{\cos t}{-\sin t}+\overline{C}_2\,\binom{\sin t}{\cos t}+\] \[+\left(\frac14\sin 2t-\frac{t}{2}\right)\,\binom{\cos t}{-\sin t}+ \frac{\sin^2t}{2}\,\binom{\sin t}{\cos t}. \]