\[\begin{equation} \label{11}\dot{X}=AX+B(t) \tag{11}\end{equation}\]
частный случай линейной системы с переменной матрицей \(A(t).\) Для линейной системы с постоянными коэффициентами
всегда существует ФСР, состоящая из элементарных функций и известен эффективный способ построения ФСР.
Рассмотрим однородную систему с постоянными действительными коэффициентами
\[\begin{equation} \label{12}\dot{X}=AX,\tag{12}\end{equation}\]
\[ \text{где} \hspace{1cm}
A=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&\ldots& a_{1n}\\\vdots\\a_{n1}&\ldots& a_{nn}\end{array}\right).\]
\(\textbf{Характеристическим уравнением}\) системы (\ref{12}) называется
\[\begin{equation} \label{13}Det(A-\lambda E)=0, \tag{13}\end{equation}\]
здесь \(E\) \(-\) единичная матрица \(n\times n\), или в развернутом виде
\[\begin{equation} \label{14}\left|
\begin{array}{ccccc}
a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23} & \ldots & a_{2n}\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn}-\lambda
\end{array}
\right|=0. \tag{14}\end{equation}\]
Корни этого уравнения называются \(\textbf{собственными значениями матрицы \(A\)}.\)
Пусть \(\lambda\) \(-\) собственное значение матрицы \(A\). Возможны случаи.
\(\textbf{I. Корень характеристического уравнения \(\lambda\) простой.}\)
Найдем \(\textbf{собственный вектор}\) \[\textbf{h}=\left(\begin{array}{cccc}h_1\\h_2\\\vdots\\h_n\end{array}\right)\] матрицы \(A\), соответствующий собственному значению \(\lambda\): \[A\textbf{h}=\lambda \textbf{h},\hspace{1cm} \textbf{h}\neq0.\] Собственный вектор находится с точностью до скалярного множителя.
Простому собственному значению \(\lambda\) матрицы \(A\) в ФСР соответствует решение уравнения (\ref{12}) вида \[X=\textbf{h}e^{\lambda t}.\] Подстановкой в уравнение (\ref{12}) проверим, что это действительно решение: \[\dot{X}=\lambda \textbf{h}e^{\lambda t}=A\textbf{h}e^{\lambda t}=AX.\]
Решить систему дифференциальных уравнений \[\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=-x-2y\\ \dot{y}=3x+4y. \end{array} \right. \] Характеристическое уравнение \[\left| \begin{array}{ccc} -1-\lambda & -2 \\ 3 & 4-\lambda \end{array} \right|=0;\hspace{1cm} (\lambda+1)(\lambda-4)+6=\lambda^2-3\lambda+2=0;\] \[\lambda_1=1;\hspace{1cm}\lambda_2=2;\] \[\lambda_1=1:\] Собственный вектор \(\textbf{h}_1= \left(\begin{array}{rrr}h_1 \\ h_2\end{array} \right),\) отвечающий собственному числу \(\lambda_1\), находится из системы \[(A-\lambda_1E)\textbf{h}_1=0:\] \[\left( \begin{array}{rrr} -2 & -2\\ 3 & 3 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{rrr}h_1\\h_2\end{array} \right) =0; \hspace{2cm} \left\{ \begin{array}{cccc} -2h_1-2h_2&=0\\ 3h_1+3h_2&=0. \end{array} \right. \] Получаем \(h_1=-h_2\). Пусть \(h_1=1\), тогда \(h_2=-1\), собственный вектор \(\textbf{h}_1=\left(\begin{array}{rrr}1 \\ -1\end{array} \right)\). Тогда корню \(\lambda_1\) соответствует частное решение \[X_1=\left(\begin{array}{rrr}1\\-1\end{array} \right)e^t.\] \(\lambda_2=2\):
собственный вектор \(\textbf{h}_2=\left(\begin{array}{rrr}h_1\\h_2\end{array} \right)\) удовлетворяет системе \[\left\{ \begin{array}{cccc} -3h_1-2h_2&=0\\ 3h_1+2h_2&=0. \end{array} \right. \] Тогда \(h_1=-\frac 2 3 h_2\). Возьмем \(h_2=-3\), получим \(h_1=2\), \(\textbf{h}_2=\left(\begin{array}{rrr}2 \\ -3 \end{array} \right),\) \[X_2=\left(\begin{array}{rrr}2\\ -3 \end{array} \right)e^{2t}.\] Общим решением системы будет \[\left(\begin{array}{rrr}x\\y\end{array} \right) =C_1 \left(\begin{array}{rrr}1\\-1\end{array} \right) e^t+C_2 \left(\begin{array}{rrr}2\\-3\end{array} \right) e^{2t}= \left(\begin{array}{rrr} C_1e^t+2C_2e^{2t} \\ -C_1e^t-3C_2e^{2t} \end{array} \right). \hspace{1cm}\triangle \] \(\textbf{II. Корень характеристического уравнения \(\lambda\) кратности \(k\), }\)ему соответствует один или несколько собственных векторов \(\textbf{h}_1,\ldots,\textbf{h}_i\), \(i\le k\). Их можно выбрать так, чтобы каждый из них являлся \(\textbf{родоначальником СЕРИИ из ПРИСОЕДИНЕННЫХ векторов}.\)
Например, \(\textbf{h}_1\) \(-\) собственный вектор \(-\) родоначальник \(\textbf{СЕРИИ}\) из \(p\) векторов \(\textbf{h}_1=\textbf{h}^1_1, \textbf{h}^2_1, \ldots, \textbf{h}^p_1\), удовлетворяющих уравнениям \[\begin{array}{lllllll} A\textbf{h}^1_1=\lambda \textbf{h}^1_1,\hspace{1cm} \textbf{h}^1_1\neq0,\\ A\textbf{h}^2_1=\lambda \textbf{h}^2_1+\textbf{h}^1_1,\\ \ldots\\ A\textbf{h}^p_1=\lambda \textbf{h}^p_1+\textbf{h}^{p-1}_1. \end{array}\] Каждой серии, например, \(\textbf{h}_1=\textbf{h}^1_1,\,\textbf{h}^2_1,\,\ldots,\,\textbf{h}^p_1\) соответствует \(p\) линейно независимых решений \(X_1,\,\ldots,\,X_p\) системы \(\dot{X}=AX\): \[\begin{array}{lllllll}\begin{equation} \label{15} X_1=\textbf{h}^1_1e^{\lambda t},\\ X_2=(t\textbf{h}^1_1+\textbf{h}^2_1)e^{\lambda t},\\ X_3=\left(\frac{t^2}{2!}\textbf{h}^1_1+t\textbf{h}^2_1+\textbf{h}^3_1\right)e^{\lambda t}, \\ \ldots,\\ X_p=\left(\frac{t^{p-1}}{(p-1)!}\textbf{h}^1_1+\frac{t^{p-2}}{(p-2)!}\textbf{h}^p_1+\cdots+t\textbf{h}^{p-1}_1+ \textbf{h}^p_1\right)e^{\lambda t}.\tag{15}\end{equation} \end{array} \] Общее решение системы представляет собой линейную комбинацию вектор-функций вида (\ref{15}), составленных для каждой серии и для каждого корня характеристического уравнения.
Решить систему дифференциальных уравнений \[\left\{ \begin{array}{lll} \dot{x}=2x+y\\ \dot{y}=4y-x. \end{array} \right. \] Характеристическое уравнение \[\left| \begin{array}{ccc} 2-\lambda & 1\\ -1 & 4-\lambda \end{array} \right|=0;\hspace{1cm} (2-\lambda)(4-\lambda)+1=0;\hspace{1cm} \lambda^2-6\lambda+9=0.\] \[\lambda_{1,2}=\lambda_0=3\text{ \(-\) корень кратности } 2.\] \[A-\lambda_0E=\left( \begin{array}{rrr} -1 & 1\\ -1 & 1 \end{array} \right)\hspace{1cm} r=1\] Количество линейно независимых собственных векторов, отвечающих кратному собственному значению:\(\hspace{1cm}d=n-r=2-1=1\).
Собственный вектор \(\textbf{h}_1=\left(\begin{array}{rrr} h_1 \\ h_2 \end{array} \right)\): \[\hspace{3cm}-h_1+h_2=0,\hspace{1cm} h_1=h_2.\] Положим \(h_1=1\), тогда \(h_2=1\), \(\textbf{h}_1=\left(\begin{array}{rrr}1 \\ 1\end{array} \right).\) Частное решение \[X_1(t)=\left(\begin{array}{rrr}1 \\ 1\end{array} \right)e^{3t}.\] Находим присоединенный вектор \(\textbf{h}_2=\left(\begin{array}{rrr}h_1 \\ h_2\end{array} \right):\) \[(A-\lambda_0E)\textbf{h}_2=\textbf{h}_1,\hspace{1cm} \left( \begin{array}{rrr} -1 & 1\\ -1 & 1 \end{array} \right) \left(\begin{array}{rrr}h_1 \\ h_2\end{array} \right) =\left(\begin{array}{rrr}1 \\ 1\end{array} \right),\hspace{1cm}-h_1+h_2=1.\] Положим \(h_1=0\), тогда \(h_2=1\), \(\textbf{h}_2=\left(\begin{array}{rrr}0 \\ 1\end{array} \right).\)
Частное решение, линейно независимое с первым: \[X_2(t)=\left(t \left(\begin{array}{rrr}1 \\ 1\end{array} \right) +\left(\begin{array}{rrr}0 \\ 1\end{array} \right)\right)e^{3t}.\] Общее решение системы \[X= \left(\begin{array}{rrr}x \\ y\end{array} \right)= C_1X_1(t)+C_2X_2(t)=C_1 \left(\begin{array}{rrr}1 \\ 1\end{array} \right)e^{3t}+C_2 \left(t \left(\begin{array}{rrr}1 \\ 1\end{array} \right)+ \left(\begin{array}{rrr}0 \\ 1\end{array} \right) \right)e^{3t},\] или \[x=(C_1+C_2 t)e^{3t}; \hspace{1cm} y=(C_1+C_2t+C_2)e^{3t}.\hspace{1cm}\bigtriangleup\] \(\textbf{III. \(\lambda\) \(-\) комплексный корень характеристического уравнения.}\)
Изложенные выше способы дают комплексные решения
Для действительной матрицы \(A\) базис из серий можно выбрать так,
чтобы серии, отвечающие действительным собственным значениям были действительными, а серии, отвечающие
комплексно сопряженным собственным значениям были комплексно сопряжены.
\(\textbf{Комплексные решения в ФСР заменяют их действительными и мнимыми частями.}\)
Решить систему дифференциальных уравнений \[\left\{ \begin{array}{lll} \dot{x}=x+y\\ \dot{y}=3y-2x. \end{array} \right. \] Характеристическое уравнение \[\left| \begin{array}{ccc} 1-\lambda & 1\\ -2 & 3-\lambda \end{array} \right|=0;\hspace{1cm} (1-\lambda)(3-\lambda)+2=0;\hspace{1cm} \lambda^2-4\lambda+5=0.\] \[\lambda_{1,2}=2\pm i.\] Достаточно рассмотреть \(\lambda_1=2+i:\)
Собственный вектор \(\textbf{h}_1=\left(\begin{array}{rrr}h_1 \\ h_2\end{array} \right),\) отвечающий собственному числу \(\lambda_1\), находится из системы \[(A-\lambda_1E)\textbf{h}_1=0,\hspace{1cm}\text{при этом, } r(A-\lambda_1E)=1.\] \[\left( \begin{array}{ccc} -1-i & 1\\ -2 & 1-i \end{array} \right)\, \left(\begin{array}{rrr}h_1 \\ h_2\end{array} \right) =0;\hspace{1cm} -2h_1+(1-i)h_2=0 \]
Получаем \(h_2=\frac{2}{1-i}h_1=(1+i)h_1\).Пусть \(h_1=1\), тогда \(h_2=1+i\),собственный вектор \(\textbf{h}_1=\left(\begin{array}{rrr}1 \\ 1+i\end{array} \right)\). Тогда корню \(\lambda_1\) соответствует частное решение \[X_1=e^{(2+i)t} \left(\begin{array}{rrr}1 \\ 1+i\end{array} \right) =e^{2t}(\cos t+i\sin t) \left(\begin{array}{rrr}1 \\ 1+i\end{array} \right)=\] \[=e^{2t}\left(\begin{array}{rrr} \cos t \\ \cos t-\sin t\end{array} \right) +i\,e^{2t} \left(\begin{array}{rrr} \sin t\\ \cos t+\sin t\end{array} \right).\] Вместо комплексных решений \(X_1(t)\) и \(X_2(t)\) в ФСР включаем действительную и мнимую часть решений. Общим решением системы будет \[X=\left(\begin{array}{rrr}x \\ y\end{array} \right) =C_1\,e^{2t} \left(\begin{array}{rrr}\cos t \\ \cos t-\sin t \end{array} \right) +C_2 e^{2t} \left(\begin{array}{rrr}\sin t \\ \cos t+\sin t\end{array} \right). \hspace{1cm}{\triangle} \]