Уравнение Эйлера имеет вид: \[\begin{equation} \label{10} x^{n} \frac{d^{n} y}{dx^{n} } +a_{1} x^{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1} } +a_{2} x^{n-2} \frac{d^{n-2} y}{dx^{n-2} } +\ldots +a_{n} y=0, \tag{10} \end{equation}\] где \(a_{1} ,a_{2} ,\ldots ,a_{n} \) - постоянные числа, и приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами с помощью замены \(x=e^{t}\) аргумента \(x\) на \(t\). При рассмотрении уравнения (\ref{10}) в области \(x<0\) делается замена \(x=-e^{t} \).
Перейдём к производным от \(y\) по \(t\), зная, что \(t=\ln x\). Последовательно получаем равенства \[\frac{dy}{dx} =\frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx} =\frac{dy}{dt} \frac{1}{x} ;\] \[\frac{d^{2} y}{dx^{2} } =\frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dt} \frac{1}{x} \right)=\frac{d^{2} y}{dt^{2} } \frac{dt}{dx} \frac{1}{x} -\frac{dy}{dt} \frac{1}{x^{2} } =\frac{d^{2} y}{dt^{2} } \frac{1}{x^{2} } -\frac{dy}{dt} \frac{1}{x^{2} } .\]
Подставляем эти выражения производных в уравнение (\ref{10}) и получаем уравнение с постоянными коэффициентами: \[\begin{equation} \label{11}\frac{d^{n} y}{dt^{n} } +\tilde{a}_{1} \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1} } +\tilde{a}_{2} \frac{d^{n-2} y}{dt^{n-2} } +\ldots +\tilde{a}_{n} y=0 \tag{11} \end{equation}\]
Пусть \(\lambda \) - корень характеристического уравнения для дифференциального уравнения (\ref{11}), а \(y=\varphi (t)\) - соответствующее ему решение. Переходя к старой переменной, получим \(y=\varphi (\ln x)\).
Метод нахождения решения неоднородного уравнения с правой частью вида \(f(x)e^{\lambda x} \) можно применить к неоднородному уравнению Эйлера с правой частью \(f(\ln x)x^{\lambda } \).
Описанный способ применим и к обобщённому уравнению Эйлера: \[(ax+b)^{n} y^{(n)} +a_{1} (ax+b)^{n-1} y^{(n-1)} +\ldots +a_{n} y=0.\]
Делается замена \(ax+b=e^{t} \) или \(ax+b=e^{-t} \).
В математической физике важную роль играет уравнение Бесселя: \[\begin{equation} \label{12} x^{2} y''+xy'+(x^{2} -n^{2} )y=0. \tag{12} \end{equation}\]
Рассмотрим случай \(n=\frac{1}{2} \), когда уравнение Бесселя сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами.
Сделаем замену \(y=zx^{-\frac{1}{2} } \), \(y'=z'x^{-\frac{1}{2} } -\frac{1}{2} zx^{-\frac{3}{2} } \), \(y''=z''x^{-\frac{1}{2} } -zx^{-\frac{3}{2} } +\frac{3}{4} zx^{-\frac{5}{2} } .\) Подставим в уравнение (\ref{12}) при \(n=\frac{1}{2} \), получим \(z''x^{\frac{3}{2} } +zx^{\frac{3}{2} } =0\), \(z''+z=0\) - уравнение с постоянными коэффициентами. \[z=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x;\] \[y=C_{1} \frac{\cos x}{\sqrt{x} } +C_{2} \frac{\sin x}{\sqrt{x} } .\]
Рассмотрим уравнение \[\begin{equation} \label{13}z^{(n)} +a_{1} z^{(n-1)} +...+a_{n-1} z'+a_{n} z=F(t). \tag{13} \end{equation}\]
Здесь \(a_{1} ,a_{2} ,\ldots ,a_{n} \) - постоянные действительные числа, \(F(t)\) - функция, непрерывная на промежутке \((r_{1},r_{2})\). Общее решение линейного неоднородного уравнения складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного решения. Рассмотрим уравнение: \[\begin{equation}\label{14} L(p)z=f(t)e^{\lambda t} . \tag{14} \end{equation}\]
Если в уравнении (\ref{14}) \(f(t)\) - многочлен степени \(r\) с комплексными коэффициентами, \(\lambda \) - комплексное число, то уравнение (\ref{14}) имеет решение вида \[\begin{equation} \label{15} z=t^{k} g(t)e^{\lambda t} , \tag{15}\end{equation}\] где \(g(t)\) - многочлен той же степени, что и \(f(t)\), а \(k=0\), когда \(\lambda \) не является корнем характеристического уравнения (нерезонансный случай), или, когда \(\lambda \) - корень, \(k\) равно кратности этого корня (резонансный случай). Коэффициенты многочлена \(g(t)\) могут быть найдены методом неопределённых коэффициентов.
Оно будет едино для \(k\ne 0\) и \(k=0\). Далее покажем, что для неопределённых коэффициентов многочлена \(g(t)\) получатся уравнения, решение которых существует и единственно. Вначале произведём некоторые преобразования.
Кратность корня \(\lambda \) в точности равна \(k\), поэтому \(L(p)=M(p)(p-\lambda )^{k} \), причём \(M(\lambda )\ne 0\). Заменим в этом тождестве \(p\) на \(p+\lambda \): \[L(p+\lambda )=M(p+\lambda )p^{k} .\] \(M(p+\lambda )\) можно представить в виде \(M(p+\lambda )=pM^{*} (p)+M(\lambda )\) (\(M(0+\lambda )=M(\lambda )\) - свободный член и вынесем общий множитель \(p\)).
Подставив (\ref{15}) в уравнение (\ref{14}), получим: \[L(p)t^{k} g(t)e^{\lambda t} =f(t)e^{\lambda t} ,\] \[e^{\lambda t} L(p+\lambda )t^{k} g(t)=f(t)e^{\lambda t} \] \[\begin{equation} \label{16}L(p+\lambda )t^{k} g(t)=f(t) \tag{16}\end{equation}\]
Представим многочлены \(f(t)\) и \(g(t)\) в виде: \[f(t)=a_{0} t^{r} +f^{*} (t),\quad \quad g(t)=b_{0} t^{r} +g^{*} (t).\]
(степень многочленов \(f^{*} (t)\) и \(g^{*} (t)\) не выше \(r-1\)). Левую часть равенства (\ref{16}) преобразуем следующим образом:
\[\begin{array}{l} {L(p+\lambda )t^{k} g(t)=L(p+\lambda )t^{k} [b_{0} t^{r} +g^{*} (t)]=}\\{=L(p+\lambda )t^{k} g^{*} (t)+M(p+\lambda )p^{k} t^{k} b_{0} t^{r} =} \\ {=L(p+\lambda )t^{k} g^{*} (t)+[pM(p)+M^{*} (\lambda )]p^{k} b_{0} t^{r+k} } \end{array}\]
Равенство (\ref{16}) примет вид: \[L(p+\lambda )t^{k} g^{*} (t)+b_{0} M^{*} (p)p^{k+1} t^{r+k} +M(\lambda )p^{k} b_{0} t^{r+k} =a_{0} t^{r} +f^{*} (t).\]Правая и левая части являются многочленами относительно переменной \(t\).
Укажем степень каждого из трёх слагаемых левой части.
\(\bullet\) Степень первого не выше степени многочлена \(M(p+\lambda )p^{k} t^{k} g^{*} (t)\), т. е. \((r-1)\), т. к. многочлен \(t^{k} g^{*} (t)\) имеет степень \(k+r-1\), а дифференцируется он \(k\) раз.
\(\bullet\) Степень второго не выше \((r-1)\), т. к. \(t^{k+r} \) дифференцируется \(k+1\) раз.
\(\bullet\) Степень третьего равна \(r\). Приравнивая слагаемые степени \(r\), мы получаем уравнение \[M(\lambda )p^{k} b_{0} t^{r+k} =a_{0} t^{r} ,\] из которого вычисляется \(b_{0}\). Вспомним, что \(M(\lambda )\ne 0\).
Уничтожив члены степени \(r\), придём к уравнению \[\begin{equation}\label{17}L(p+\lambda )t^{k} g^{*} (t)=f^{*} (t)-b_{0} M^{*} (p)p^{k+1} t^{r+k} , \tag{17}\end{equation}\]в котором правая часть - известный многочлен степени не выше \(r-1\). Эту же степень припишем искомому многочлену \(g^{*} (t)\). Уравнение (\ref{17}) имеет такой же вид, как и уравнение (\ref{14}), только степени многочленов стали меньше. Следовательно:
\(\textbf {1.}\) По доказанному однозначно находится коэффициент при старшей степени \(t\) многочлена \(g^{*} (t)\).
\(\textbf {2.}\) Найдя этот коэффициент, приходим к уравнению вида (\ref{16}).
Так, вычисляя один за другим коэффициенты многочлена \(g^{*} (t)\), мы дойдём наконец до свободного члена.
На практике записывают частное решение в виде \(z=t^{k} g(t)e^{\lambda t} \) и подставляют в уравнение. Для неопределённых коэффициентов многочлена \(g(t)\) получается система линейных алгебраических уравнений с треугольной невырожденной матрицей. Из первого уравнения находится \(b_{0}\), из второго - \(b_{1 }\) и т. д.
\(\textbf {Теорема доказана.}\)
Используя принцип суперпозиции, можно находить частные решения для уравнения с правой частью вида \[F(t)=\sum _{i=1}^{m}f_{i} (t)e^{\lambda _{i} t},\] где \(f_{i} (t)\) - многочлены. Такие функции \(F(t)\) называют \(\textbf{квазимногочленами}\).
Если правая часть имеет вид \(f(t)\), т. е. \(f(t)e^{0t} \), то роль \(\lambda \) играет число 0. Cмотрим, является ли \(\lambda \) корнем уравнения \(L(\lambda )=0\) и какой кратности.
Если коэффициенты многочленов \(L(p)\), \(f(t)\) и число \(\lambda \) - действительны, то коэффициенты многочлена \(g(t)\) также будут действительными.
Наиболее общим является уравнение (\ref{14}) вида \[\begin{equation} \label{18}L(p)z=e^{\alpha t} [P_{1} (t)\cos \beta t+P_{2} (t)\sin \beta t]. \tag{18}\end{equation}\]
Рассмотрим случай, когда коэффициенты многочленов \(L(p)\), \(P_{1} (t)\), \(P_{2} (t)\) и числа \(\alpha \) и \(\beta \) действительны. Заменяя \(\cos \beta t\) и \(\sin \beta t\) по формулам Эйлера через экспоненты, получим \[e^{\alpha t} [P_{1} (t)\cos \beta t+P_{2} (t)\sin \beta t]=\] \[\begin{equation} \label{19}\hspace {1cm}\frac{1}{2} [P_{1} (t)-iP_{2} (t)]e^{(\alpha +i\beta )t} +\frac{1}{2} [P_{1} (t)+iP_{2} (t)]e^{(\alpha -i\beta )t} \tag{19}\end{equation}\]
При решении уравнения \[\begin{equation} \label{20}L(p)z=\frac{1}{2} [P_{1} (t)-iP_{2} (t)]e^{(\alpha +i\beta )t} \tag{20}\end{equation}\]роль числа \(\lambda \) в теореме играет \(\alpha +i\beta \). Поэтому выясняем, является ли число \(\alpha +i\beta \) корнем уравнения \(L(\lambda )=0\) и если да, то какова его кратность \(k\). Затем ищем решение \[z=t^{k} g_{1} (t)e^{(\alpha +i\beta )t} .\]
Полученному многочлену \(g_{1} (t)\) всегда можно придать вид \[g_{1} (t)=\frac{1}{2} [Q_{1} (t)-iQ_{2} (t)],\] где \(Q_{1} (t)\) и \(Q_{2} (t)\) многочлены с действительными коэффициентами, а их степень равна наибольшей из степеней многочленов \(P_{1} (t)\) и \(P_{2} (t)\).
С уравнением \[\begin{equation} \label{21}L(p)z=\frac{1}{2} [P_{1} (t)+iP_{2} (t)]e^{(\alpha -i\beta )t} \tag{21}\end{equation}\]проделываем то же самое. Правые части уравнений (\ref{20}) и (\ref{21}) комплексно сопряжены, поэтому для многочлена \(g_{2}(t)\) получим \[z=t^{k} g_{2} (t)e^{(\alpha -i\beta )t} =\frac{1}{2} t^{k} [Q_{1} (t)+iQ_{2} (t)]e^{(\alpha -i\beta )t} .\]
Частным решением уравнения (\ref{18}) будет функция \[\begin{equation} \label{22}z=\frac{1}{2} t^{k} [Q_{1} (t)-iQ_{2} (t)]e^{(\alpha +i\beta )t} +\frac{1}{2} t^{k} [Q_{1} (t)+iQ_{2} (t)]e^{(\alpha -i\beta )t}. \tag{22}\end{equation}\]
Преобразование (\ref{19}) назовём прямым. Делая с (\ref{22}) обратное преобразование, получим \[\begin{equation} \label{23}z=t^{k} e^{\alpha t} [Q_{1} (t)\cos \beta t+Q_{2} (t)\sin \beta t]. \tag{23}\end{equation}\]
Именно в таком виде следует искать частное решение уравнение (\ref{18}), помня, что \(k\) - это кратность корня \(\lambda =\alpha \pm i\beta \), а степень многочленов \(Q_{1} (t)\) и \(Q_{2} (t)\) с неопределёнными коэффициентами равна наибольшей из степеней многочленов \(P_{1} (t)\) и \(P_{2} (t)\).