\(\textbf {Оператор дифференцирования L(p). Характеристическое уравнение.}\)
Рассмотрим уравнение \[z^{(n)} + a_{1}z^{(n-1)} + ... + a_{n-1}z' + a_{n}z = f(t)\] \(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}\) - постоянные числа, действительные или комплексные, функция \(f(t)\) действительного аргумента \(t\) определена на интервале \((r_{1}, r_{2})\) и может быть комплекснозначной.
Примем обозначения из операционного исчисления: \(p\) - оператор дифференцирования, т.е. \(p = \frac{dz}{dt}\) обозначается как \(pz\). Для производной \(m\)-го порядка применяется обозначение \(\frac{d^{m}}{dt^{m}}z = p^{m}z\).
Операторным многочленом называют выражение \[L(p) = a_{0}p^n + a_{1}p^{n-1} + ... + a_{n},\]
где \(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}\) - постоянные числа, действительные или комплексные.
В соответствии с правилами дифференцирования имеем \[L(p)z = (a_{0}p^n + a_{1}p^{n-1} + ... + a_{n})z = a_{0}z^{(n)} + a_{1}z^{(n-1)} + ... + a_{n}z.\]
\(\textbf {Свойства операторных многочленов:}\)
1. \(L(p)(z_{1} + z_{2}) = L(p)z_{1} + L(p)z_{2}\)
2. \([L(p) + M(p)]z = L(p)z + M(p)z\)
3. \(L(p)[M(p)z] = [L(p)M(p)]z\)
4. \(L(p)e^{\lambda t} = L(\lambda)e^{\lambda t}\)
Докажем,например, последнее.
\[L(p)z = (a_{0}p^n + a_{1}p^{n-1} + ... + a_{n})e^{\lambda t} = \] \[= a_{0}(e^{\lambda t})^{(n)} + a_{1}(e^{\lambda t})^{(n-1)} + ... + a_{n}(e^{\lambda t}) = \] \[= (a_{0} \lambda^n + a_{1} \lambda^{n-1} + ... + a_{n})e^{\lambda t}\] Уравнение \[z^{(n)} + a_{1}(t)z^{(n-1)} + ... + a_{n-1}(t)z' + a_{n}(t)z = 0\] можно записать в виде \[\begin{equation}\label{1} L(p)z = 0. \tag{1} \end{equation}\] Уравнение (\ref{1}) является линейным однородным. Оно имеет тривиальное решение \(z \equiv 0.\) Коэффициенты многочлена \[L(p) = a_{0}p^n + a_{1}p^{n-1} + ... + a_{n}\] будем в дальнейшем считать действительными. Условия теоремы Коши выполнены во всем пространстве: \[-\infty < t < \infty, \hspace{0.5cm} - \infty < z< \infty,\] \[-\infty < z'< \infty,..., \hspace{0.5cm}-\infty < z^{(n-1)} < \infty.\] Решение уравнения (\ref{1}) можно искать среди функций \(z = e^{\lambda t}.\) Подставим в уравнение (\ref{1}) эту функцию и получим: \[L(p)e^{\lambda t} = L(\lambda)e^{\lambda t} = 0.\] Т.к. показательная функция в ноль не обращается, делаем вывод, что функция \(z = e^{\lambda t}\) может удовлетворять уравнению (\ref{1}) тогда и только тогда, когда \(\lambda\) является корнем уравнения \(L(\lambda) = 0.\) Уравнение \[L(\lambda) = 0\] или \(\lambda^n + a_{1}\lambda^{n-1} + ... + a_n = 0\) называется \(\textbf {характеристическим}\).
\(\textbf {1. Случай простых корней характеристического уравнения.}\)
Пусть характеристическое уравнение \(L(\lambda) = 0\) для дифференциального уравнения (\ref{1}) \[L(p)z = 0\] имеет ровно \(n\) различных корней \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, ..., \lambda_{n}\), среди которых нет кратных, тогда ФСР для этого дифференциального уравнения \[\begin{equation}\label{2} z_{1} = e^{\lambda_{1}t}, z_{2} = e^{\lambda_{2}t}, ..., z_{n} = e^{\lambda_{n}t}, \tag{2} \end{equation}\] соответственно общее решение \[z = C_{1}z_{1} + C_{2}z_{2} + ... + C_{n}z_{n},\] где \(C_{1}, C_{2}, ..., C_{n}\) - const.
Каждая из функций (\ref{2}) удовлетворяет уравнению (\ref{1}) (отмечалось выше), поэтому надо доказать, что система (\ref{2}) линейно независима. Для этого достаточно установить, что определитель Вронского \(W(t)\) системы (\ref{2}) отличен от нуля, например, при \(t = 0\). Докажем от противного. Предположим, что \(W(0)\) системы (\ref{2}) равен нулю:
\[W(0)=\det \left(\begin{array}{l} {z_{1} (0)\quad \, \ldots \; \quad z_{S} (0)\quad \ldots \quad z_{n} (0)\; } \\ {z'_{1} (0)\quad \, \ldots \; \quad z'_{S} (0)\quad \ldots \quad z'_{n} (0)} \\ {.................................} \\ {.................................} \\ {z_{1}^{(n-1)} (0)\; \ldots \; z_{S}^{(n-1)} (0)\; \; \ldots \; z_{n}^{(n-1)} (0)} \end{array}\right)=0\quad \quad \left|\begin{array}{l} {b_{n-1} } \\ {b_{n-2} } \\ {\vdots } \\ {\vdots } \\ {b_{0} } \end{array}\right. \]
Система строк полученной матрицы линейно зависима в силу критерия фундаментальности системы решений, значит найдутся такие коэффициенты \(b_{n-1}, b_{n-2}, ..., b_{0}\) (не все равные нулю), что \[\begin {equation} \label{3} b_{0}z_{S}^{(n-1)}(0) + b_{1}z_{S}^{(n-2)}(0) + ... + b_{n-1}z_{S}(0) = 0. \tag{3} \end{equation}\]
Если ввести операторный многочлен \[M(p) = b_{0}p^{n-1} + b_{1}p^{n-2} + ... + b_{n-1},\] тогда равенство (\ref{3}) запишется как \[M(p)z_{S}(t)|_{t=0} = 0.\]
Воспользуемся 4 свойством операторных многочленов: \[M(p)z_{S}(t)|_{t=0} = M(\lambda_{S}) = 0,\] т.е. \(\lambda_{S}\) - корень многочлена \(M(\lambda)\) \((s = 1, 2, ..., n).\) Получаем, что \(M(\lambda)\) имеет ровно \(n\) различных корней \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, ..., \lambda_{n}\), чего быть не может, т.к. \(M(\lambda)\) степени \((n-1)\) и максимально может иметь \((n-1)\) различных корней. Наше предположение, что \(W(0) = 0\), неверно, значит, определитель Вронского не обращается в ноль на \((r_{1}, r_{2})\) (т.к. определитель Вронского либо равен нулю на \((r_{1}, r_{2})\), либо не обращается в ноль на \((r_{1}, r_{2})\)). В силу критерия фундаментальности системы решений, получем, что система решений (\ref{2}) уравнения (\ref{1}) является ФСР.
Другой вариант доказательства:
Рассмотрим определитель Вронского \(W(0)\), где вместо функции \(z\) и ее производных поставим конкретные числа, соответствующие производным при \(t = 0\)
\[\begin {equation} \label {4} W(0)=\det \left(\begin{array}{l} {1\quad \; \; 1\quad \, \; \ldots \; \, 1\quad \, \; \ldots \; \, 1} \\ {\lambda _{1} \; \; \; \lambda _{2} \; \; \; \ldots \; \lambda _{S} \; \; \; \ldots \; \lambda _{n} } \\ {\lambda _{1}^{2} \; \; \; \lambda _{2}^{2} \; \; \; \ldots \; \lambda _{S}^{2} \; \; \; \ldots \; \lambda _{n}^{2} } \\ {..........................} \\ {\lambda _{1}^{n-1} \; \lambda _{2}^{n-1} \; \ldots \; \lambda _{S}^{n-1} \; \ldots \; \lambda _{n}^{n-1} } \end{array}\right)\quad \quad.\tag{4} \end {equation}\]Определитель (\ref{4}) является определителем Вандермонда, а такой определитель не равен нулю, если все \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, ..., \lambda_{n}\) различны.
У нас есть \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, ..., \lambda_{n}\) - попарно различные.
Теперь рассмотрим 2 случая:
а) Все \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, ..., \lambda_{n}\) - действительные, тогда по теореме об общем виде решений линейных однородных уравнений \(n\)-го порядка общее решение уравнения (\ref{1}), где \(C_{1}, C_{2}, ..., C_{n}\) - действительные константы, \(z(t)\) - действительнозначная.
б) Есть \(\lambda_{i}, ..., \lambda_{j}\) - комплексные, надо найти ФСР из действительнозначных функций.
Пусть \(L(\lambda) = 0,\) \(\lambda_{1}, \lambda_{2} \in C,\) \(\lambda_{3}, ..., \lambda_{n} \in R\) - корни многочлена. (Поскольку коэффициенты \(L\) действительные, то комплексных корней будет четное число, если все корни попарно различны, т.к. для каждого комплексного корня есть комплексно сопряженный корень). \[\lambda_{1} = \alpha + i\beta, \lambda_{2} = \alpha - i\beta\] - ФСР уравнения (\ref{1}).
Воспользуемся формулами Эйлера: \[e^{(\alpha +i\beta )t} =e^{\alpha t } (\cos \beta t+i\sin \beta t)=u+iv,\quad \; u=e^{\alpha t} \cos \beta t,\; v=e^{\alpha t} \sin \beta t\] \[e^{(\alpha -i\beta )t} =e^{\alpha t} (\cos \beta t-i\sin \beta t)=u-iv,\quad \; u=e^{\alpha t} \cos \beta t,\; v=e^{\alpha t} \sin \beta t\]
Функции \(u\) и \(v\) - действительнозначные, по следствию 3 из теоремы о принципе суперпозиции, получаем, что \(u\) и \(v\) - решения уравнения (\ref{1}) \(L(p)z=0\). Теперь проверяем, не нарушилась ли линейная независимость системы, если вместо \(\lambda _{1} =\alpha +i\beta ,\; \; \lambda _{2} =\alpha -i\beta \) написать \(e^{\alpha t} \cos \beta t,\; \; e^{\alpha t} \sin \beta t\).
Дана система решений \[\begin{equation} \label{5} \big\{ e^{\alpha t} \cos \beta t,\; e^{\alpha t} \sin \beta t,\; z_{3} ,\ldots ,z_{n}\big\} , \tag{5} \end{equation}\] показать, что она линейно независима. Докажем от противного.
Допустим, что система решений (\ref{5}) линейно зависима. Значит \[\exists \; C_{1} ,C_{2} ,\; \ldots ,\, C_{n} :C_{1}^{2} +C_{2}^{2} +\; \ldots +\, C_{n}^{2} \ne 0,\] \[u=e^{\alpha t} \cos \beta t,\quad v=e^{\alpha t} \sin \beta t\;\] \[C_{1} u+C_{2} v\; +\; C_{3} z_{3} \; +\ldots +C_{n} z_{n} =0\]
Ввведем новые обозначения \[D_{1} =\frac{C_{1} -iC_{2} }{2} ,\; D_{2} =\frac{C_{1} +iC_{2} }{2} ,\; D_{3} =C_{3} ,\; \ldots ,\; D_{n} =C_{n}.\]
В силу соотношений \[D_{1} \; =\; D_{2} \; =0\, \Leftrightarrow \; C_{1} \; =\; C_{2} \; =0.\]
\[\begin{array}{l} {D_{1} (u+iv)+D_{2} (u-iv)\; +\; D_{3} z_{3} \; +\ldots +D_{n} z_{n}=} \\{ =\frac{C_{1} -iC_{2} }{2} (u+iv)+\frac{C_{1} +iC_{2} }{2} (u-iv)\; +\; C_{3} z_{3} \; +\ldots +C_{n} z_{n} =} \\ {=\frac{C_{1} u}{2} -\frac{C_{2} iu}{2} +\frac{C_{1} iv}{2} +\frac{C_{2} v}{2} +\frac{C_{1} u}{2} +\frac{C_{2} iu}{2} -\frac{C_{1} iv}{2} +\frac{C_{2} v}{2}+} \\{+\; C_{3} z_{3} \; +\ldots +C_{n} z_{n}=} \\{ =C_{1} u+C_{2} v\; +\; C_{3} z_{3} \; +\ldots +C_{n} z_{n} =0} \end{array}\]Получили, что \[\exists \; D_{1} ,D_{2} ,\; \ldots ,\, D_{n}:\;D_{1}^{2} +D_{2}^{2} +\; \ldots +\, D_{n}^{2} \ne 0,\] \[D_{1} (u+iv)+D_{2} (u-iv)\; +\; D_{3} z_{3} \; +\ldots +D_{n} z_{n} =0.\]
Т.е. система решений \[\big\{ (u+iv),\; (u-iv)\; ,z_{3} ,\ldots ,z_{n} \big\} =\big\{ e^{(\alpha +i\beta )t} ,\; e^{(\alpha -i\beta )t} \; ,e^{\lambda _{3} t} ,\ldots ,e^{\lambda _{n} t} \big\} \]
линейно зависима, получили противоречие с тем, что данная система решений является линейно независимой (т.к. \(\big\{ e^{(\alpha +i\beta )t} ,\; e^{(\alpha -i\beta )t} \; ,e^{\lambda _{3} t} ,\ldots ,e^{\lambda _{n} t} \big\}\) - ФСР уравнения \((1)\)).
Если комплексных решений более 2-х, надо постепенно менять их на действительные (по 2). В результате мы получим ФСР уравнения (\ref{1}) из действительнозначных функций.
\(\textbf {Теорема доказана.}\)
\(\textbf {2. Случай кратных корней характеристического уравнения.}\)
Если среди корней характеристического уравнения имеются кратные и попарно различны всего \(m\) \((m<\)\(n)\), то решений вида \(e^{\lambda _{i} t} (i=\overline{1,m})\) не хватит для получения фундаментальной системы. Недостаток решений, связанный с наличием корня \(\lambda \) кратности \(k\), можно восполнить функциями вида \[te^{\lambda t} ,\; t^{2} e^{\lambda t} \; ,\ldots ,t^{k-1} e^{\lambda t},\] число которых равно количеству потерянных решений вида \(e^{\lambda t}\), обусловленных кратностью корня \(\lambda\).
Справедлива следующая формула смещения: \[L(p)[e^{\lambda t} f(t)]=e^{\lambda t} L(p+\lambda )f(t).\] Здесь \(L(p)=a_{0} p^{n} +a_{1} p^{n-1} +\ldots +a_{n}\) - произвольный многочлен, \(\lambda\) - комплексное число, \(f(t)\) - любая, достаточное число раз дифференцируемая функция.
\(\underline{База \; индукции}:\) \((n=1)\) \[L(p)=a_{0} p+a_{1},\]
\[\begin{array}{l} {L(p)[e^{\lambda t} f(t)]=(a_{0} p+a_{1} )[e^{\lambda t} f(t)]=a_{0} p[e^{\lambda t} f(t)]+a_{1} e^{\lambda t} f(t)=}\\{=a_{0} (e^{\lambda t} p[f(t)]+\lambda e^{\lambda t} f(t))+a_{1} e^{\lambda t} f(t)=} \\ {=e^{\lambda t} (a_{0} (p+\lambda )+a_{1} )f(t)=e^{\lambda t} L(p+\lambda )f(t)} \end{array}\]Далее предполагаем, что формула смещения верна для операторных многочленов, степень которых не превосходит \((n-1)\), \(n>1\).
\(\underline{Шаг \; индукции}:\) Покажем, что функция смещения будет верна для операторных многочленов степени \(n\). Пусть \(L(p)\) имеет степень \(n\), тогда существуют \(L_1(p)\) и \(L_2(p)\), такие что их степени меньше \(n\) и \[L(p)=L_{1} (p)\cdot L_{2} (p).\]
Для \(L_1(p)\) и \(L_2(p)\) можно применить предположение индукции и пользуемся 3-им свойством операторных многочленов:
\[\begin{array}{l} {L(p)[e^{\lambda t} f(t)]=(L_{1} (p)\cdot L_{2} (p))[e^{\lambda t} f(t)]=} \\{=L_{1} (p)[L_{2} (p)[e^{\lambda t} f(t)]]=L_{1} (p)[e^{\lambda t} L_{2} (p+\lambda )f(t)]=} \\ {=e^{\lambda t} L_{1} (p+\lambda )[L_{2} (p+\lambda )f(t)]=e^{\lambda t} [L_{1} (p+\lambda )L_{2} (p+\lambda )]f(t)=}\\{=e^{\lambda t} L(p+\lambda )f(t)} \end{array}\]\(\textbf{Лемма 1 доказана}.\)
Пусть \(L(p)\) - произвольный операторный многочлен, \(\lambda \) - комплексное число, \(r\ge 0\) - целое число, \(\omega _{r} (t)\) - функция действительной переменной \(t\), определяемая формулой \[\omega _{r} (t)=L(p)[e^{\lambda t}t^{r}].\] Справедливы следующие утверждения:
1) Если \(\lambda \) - корень многочлена \(L(p)\) кратности \(k\), то \(\omega _{r} (t)\mathop{\equiv }\limits^{t} 0\) при \(r=1,\, 2,\, \ldots ,\, k-1\).
2) Если функции \(\omega _{1} (t),\, \omega _{2} (t),\; \ldots ,\, \omega _{k-1} (t)\) равны нулю хотя бы для одного значения \(t=t_0\), то \(\lambda \) - корень многочлена \(L(p)\), имеющий кратность не менее, чем \(k\).
Докажем Утверждение 1)
Пусть \(\lambda \) - корень многочлена \(L(p)\) кратности \(k\), поэтому справедливо представление \[L(p)=M(p)(p-\lambda)^k,\] где \(M(p)\) - многочлен. Заменим в этом тождестве \(p\) на \(p+\lambda \): \[L(p+\lambda )=M(p+\lambda )p^{k},\] тогда, c учетом формулы смещения, получаем \[\omega _{r} (t)=e^{\lambda t} M(p+\lambda )p^{k} t^{r} \equiv 0\] при \(r<\)\(k\), так как при \(r<\)\(k\) имеем \(p^{k} t^{r} \equiv 0\).
Утверждение 1) доказано.
Докажем Утверждение 2).
Пусть \[\omega _{1} (t_{0} )=\, \omega _{2} (t_{0} )=\; \ldots =\omega _{k-1} (t_{0} )=0.\] По формуле смещения получаем \[\omega _{r} (t)=L(p)[e^{\lambda t} t^{r}] =e^{\lambda t} L(p+\lambda )t^{r}.\] Многочлен \(L(p + \lambda)\) разложим по степеням \(p\): \[L(p+\lambda )=b_{0} +b_{1} p+\ldots +b_{n} p^{n}.\]
\(\underline{База \; индукции}:\) \((r=0)\) \[\omega _{0} (t)=e^{\lambda t} L(p+\lambda )1, \quad L(p+\lambda )1=(b_{0} +b_{1} p+\ldots +b_{n} p^{n} )1\equiv b_{0} 1,\] так как \[p1=p^{2} 1=\ldots =p^{n} 1=0.\] Поэтому \[0=\omega _{0} (t_{0} )=e^{\lambda t_{0} } b_{0} \Rightarrow \; b_{0} =0.\]
\(\underline{Предположение \; индукции}.\) \(b_{0} =b_{1} =\ldots =b_{s-1} =0\)
\(\underline{Шаг \; индукции}:\) Докажем, что \(b_{s} =0\; (s\le k-1).\)
Многочлен \(L(p+\lambda )\) имеет вид \[L(p+\lambda )=b_{s} p^{s} +b_{s+1} p^{s+1} +\ldots +b_{n} p^{n}.\]
Имеем \[\omega _{s} (t)=e^{\lambda t} L(p+\lambda )t^{s} =e^{\lambda t} b_{s} s!,\]
так как \[p^{s} t^{s} =s!,\; p^{s+1} t^{s} =\ldots =p^{n} t^{s} =0.\]
При \(t=t_{0}\) получаем \[0=\omega _{s} (t_{0} )=e^{\lambda t_{0} } b_{s} s!\, \; \Rightarrow \; b_{s} =0.\]
Имеем \(b_{0} =b_{1} =\ldots =b_{k-1} =0\). Следовательно, \[L(p+\lambda )=b_{k} p^{k} +b_{k+1} p^{k+1} +\ldots +b_{n} p^{n} =(b_{k} +b_{k+1} p+\ldots +b_{n} p^{n-k} )p^{k}.\]
Запишем \(L(p+\lambda )\) в виде \(L(p+\lambda )=M(p)p^{k} \). В этом тождестве заменим \(p\) на \(p-\lambda \): \[L(p)=M(p-\lambda )(p-\lambda )^{k} .\]
Из последней формулы видно, что \(\lambda \), как корень многочлена \(L(p)\), имеет кратность не менее, чем \(k\).
Утверждение 2) доказано.
\(\textbf{Лемма 2 доказана}.\)
Пусть \[\begin{equation} \label{6} L(p)z=0 \tag{6} \end{equation}\] линейное однородное уравнение \(n\)-го порядка с постоянными коэффициентами, а \(\lambda _{1} ,\; \lambda _{2} ,\; \ldots ,\lambda _{m} \; (m\le n)\) - все попарно различные корни характеристического уравнения \(L(\lambda )=0\) и корень \(\lambda _{S} \) имеет кратность \(k_{S} \) \((s=\overline{1,m})\), так что \(k_{1} +k_{2} +\ldots +k_{m} =n\).
Обозначим
\begin{equation} \label{7} \left. \begin{array}{l} {z_{1} =e^{\lambda _{1} t} ,\quad \quad z_{2} =te^{\lambda _{1} t} ,\quad \quad \ldots ,\quad z_{k_{1}} =t^{k_{1} -1} e^{\lambda _{1} t} } \\ {z_{k_{1} +1} =e^{\lambda _{2} t} ,\quad z_{k_{1} +2} =te^{\lambda _{2} t} ,\quad \ldots ,\quad z_{k_{1} +k_{2} } =t^{k_{2} -1} e^{\lambda _{2} t} } \\ {...................................................} \\ {\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad z_{n} =t^{k_{m} -1} e^{\lambda _{m} t} } \end{array}\right\}.\tag{7} \end{equation}
Тогда каждая из функций (\ref{7}) является решением уравнения (\ref{6}), а функция \[z=C_{1} z_{1} +C_{2} z_{2} +\ldots +C_{n} z_{n} ,\] где \(C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} \; \) - произвольные действительные или комплексные постоянные, является общим решением уравнения (\ref{6}).
В силу леммы 2 каждая функция (\ref{7}) является решением уравнения (\ref{6}). Надо проверить линейную независимость системы решений (\ref{7}).
Докажем от противного аналогично доказательству теоремы об общем решении линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения.
Предположим, что определитель Вронского системы решений (\ref{7}) в какой-то точке \(t_0\) равен нулю. \[\exists t_{0} :\; W(t_{0} )=0.\] \[W(t_{0} )=\det \left(\begin{array}{l} {z_{1} (t_{0} )\quad \, \ldots \; \quad z_{S} (t_{0} )\quad \ldots \quad z_{n} (t_{0} )\; } \\ {z'_{1} (t_{0} )\quad \, \ldots \; \quad z'_{S} (t_{0} )\quad \ldots \quad z'_{n} (t_{0} )} \\ {...................................} \\ {...................................} \\ {z_{1}^{(n-1)} (t_{0} )\; \ldots \; z_{S}^{(n-1)} (t_{0} )\; \; \ldots \; z_{n}^{(n-1)} (t_{0} )} \end{array}\right)=0\quad \quad \left|\begin{array}{l} {b_{n-1} } \\ {b_{n-2} } \\ {\vdots } \\ {\vdots } \\ {b_{0} } \end{array}\right. \]
Система строк построенной матрицы линейно зависима в силу критерия фундаментальности системы решений, значит найдутся такие коэффициенты \(b_{n-1} ,b_{n-2} ,\; \ldots ,\, b_{0} \; \) (не все равные нулю), что \[\begin{equation} \label{8} b_{0} z_{S}^{(n-1)} (t_{0} )+b_{1} z_{S}^{(n-2)} (t_{0} )+\ldots +b_{n-1} z_{S} (t_{0} )=0. \tag{8} \end{equation}\] Введем \[M(p)=b_{0} p^{n-1} +b_{1} p^{n-2} +\ldots +b_{n-1},\] тогда равенство (\ref{8}) запишем \[\begin{equation} \label{9} M(p)z_{S} (t)\left|_{t=t_{0} } \right. =0 \tag{9} \end{equation}\]
Заменим \(L(p)\) на \(M(p)\) в формуле \(\omega _{r} (t)=L(p)t^{r} e^{\lambda t} \), т. е. \(\omega _{r} (t)=M(p)t^{r} e^{\lambda t} \).
Пусть вначале \(\lambda =\lambda _{1} \), \(s=0,\; 1,\; 2,\, \ldots ,\, k_{1} -1\). Формулу (\ref{9}) можно переписать в виде \[M(p)z_{S} (t)\left|_{t=t_{0} } \right. =M(p)t^{S} e^{\lambda _{1} t} \left|_{t=t_{0} } \right. =\omega _{S} (t_{0} )=0,\] следовательно, \[\omega _{1} (t_{0} )=\, \omega _{2} (t_{0} )=\; \ldots =\omega _{k-1} (t_{0} )=0.\]
Во второй части леммы 2 число \(\lambda _{1} \) - корень многочлена \(M(p)\) кратности не менее, чем \(k_1\). Аналогичным образом заключаем для остальных корней \(\lambda _{2} ,\; \lambda _{3} ,\; \ldots ,\lambda _{m} \) многочлена \(L(p)\), что они также являются корнями многочлена \(M(p)\) с кратностями не меньше, чем \(k_{2} ,k_{3} ,\ldots ,k_{m} \). Если считать корни многочлена \(M(p)\) с их кратностями, то получается, что у него корней не меньше, чем \(k_{1} +k_{2} +\ldots +k_{m} =n\). Этого не может быть, так как многочлен имеет степень всего лишь \((n-1)\).
Получаем \[\forall t\in (r_{1} ,r_{2} ):\; W(t)\ne 0.\] (т. к. определитель Вронского либо равен нулю на \((r_1,r_2)\), либо не обращается в ноль на \((r_1,r_2)\)). В силу критерия фундаментальности системы решений, получаем, что система решений (\ref{7}) уравнения (\ref{6}) является ФСР.
По теореме об общем виде решений линейных однородных уравнений \(n\)-го порядка общее решение уравнения (\ref{6}) \[z=C_{1} z_{1} +C_{2} z_{2} +\ldots +C_{n} z_{n} ,\] где \(C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} \; \) - произвольные действительные или комплексные постоянные.
\(\textbf{Теорема доказана.}\)