Линейная система дифференциальных уравнений \(n\)-го порядка выглядит следующим образом: \[\left\{\begin{array}{l} {\dot{x}_{1} =a_{11} (t)x_{1} +a_{12} (t)x_{2} +\ldots +a_{1n} (t)x_{n} +f_{1} (t)} \\ {\dot{x}_{2} =a_{21} (t)x_{1} +a_{22} (t)x_{2} +\ldots +a_{2n} (t)x_{n} +f_{2} (t)} \\ {...............................................} \\ {\dot{x}_{n} =a_{n1} (t)x_{1} +a_{n2} (t)x_{2} +\ldots +a_{nn} (t)x_{n} +f_{n} (t)} \end{array}\right. \] где искомые функции \(x_{1} (t),x_{2} (t),\ldots ,x_{n} (t)\).
В сокращённом виде систему линейных дифференциальных уравнений записывают так:
\[\dot{x}_{i} =\sum _{k=1}^{n}a_{ik} (t)x_{k} +f_{i} (t) ,\quad i=1,\; 2,\, \ldots ,\, n,\] где \(\dot{x}_{i} =\frac{dx_{i} }{dt} \).
Введём обозначения: \[X=\left(\begin{array}{l} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {\, \, \vdots } \\ {x_{n} } \end{array}\right), F(t)=\left(\begin{array}{l} {f_{1} (t)} \\ {f_{2} (t)} \\ {\, \; \; \, \vdots } \\ {f_{n} (t)} \end{array}\right), A(t)=\left\{a_{ij} (t)\right\}_{i,j=1}^{n} , \dot{X}=\left(\begin{array}{l} {\dot{x}_{1} } \\ {\dot{x}_{2} } \\ {\, \, \vdots } \\ {\dot{x}_{n} } \end{array}\right)\]
Тогда система линейных дифференциальных уравнений запишется как: \[\begin{equation} \label{24}\dot{X}=A(t)\cdot X+F(t),\quad X\in R^{n}. \tag{24}\end{equation}\]
Можно воспринимать систему линейных дифференциальных уравнений как векторное дифференциальное уравнение.
Возьмём \[t\in (r_{1} ,r_{2} ),\; \; \; X=(x_{1} ,x_{2} ,\ldots ,x_{n} )\in R^{n}.\]
Применим теорему Коши к системе (\ref{24}), получим, что система (\ref{24}) имеет всегда единственное решение на \((r_{1},r_{2})\) при начальных условиях
\[X(t_{0} )=X^{0} ,\; t_0\in (r_{1} ,r_{2} ),\; \; \;X^{0}=\left(\begin{array}{l} {x_{1}^{0} } \\ {x_{2}^{0} } \\ {\, \, \vdots } \\ {x_{n}^{0} } \end{array}\right)\in R^{n}\]
Система линейных дифференциальных уравнений (\ref{24})
\(\dot{X}=A(t)X+F(t),\quad X\in R^{n} \) - неоднородная система.
Если \(F(t)\equiv 0\), то \(\dot{X}=A(t)\cdot X,\quad X\in R^{n} \) - однородная система.
Пусть \(X(t)\) - решение однородной системы и пусть при некотором значении \(t=t_0\) \(X(t_0)=0,\) тогда \(X(t)\equiv0,\) \(t\in(\alpha,\beta).\)
Однородная система обладает тривиальным решением \(X\equiv 0\). Это решение удовлетворяет начальным условиям \(t=t_0.\) В силу теоремы Коши о существовании и единственности решения эти решения совпадают.
\(\textbf {Принцип суперпозиции}\)
Если \(X=X_{s} (t)\quad s=1\, ,2,\, \ldots ,S\) являются решениями уравнений \[\dot{X}=A(t)X+F_{s} (t),\quad X\in R^{n} ,\] то \(X=\sum _{s=1}^{S}\alpha _{s} X_{s} (t)\) - решение следующей системы \[\dot{X}=A(t)X+\sum _{s=1}^{S}\alpha _{s} F_{s} (t) ,\quad X\in R^{n} .\]
Линейная комбинация решений однородной системы также является решением этой системы.
Разность произвольных решений неоднородной системы является решением соответствующей однородной системы.
Вектор-функция \(X=U(t)+iV(t)\), где \(U(t)\),\(V(t)\) - действительные вектор-функции, является решением системы \[\dot{X}=A(t)X+F_{1} (t)+iF_{2} (t),\quad X\in R^{n},\]где \(F_{1}(t)\), \(F_{2}(t)\) - также действительные вектор-функции, \[\Updownarrow \]
\(X=U(t)\) - решение \(\dot{X}=A(t)X+F_{1} (t),\quad X\in R^{n} \) и
\(X=V(t)\) - решение \(\dot{X}=A(t)X+F_{2} (t),\quad X\in R^{n} \).
Все следствия проверяются подстановкой. Введём вспомогательные обозначения:
\[X_1=\left(\begin{array}{l} {x_{11} } \\ {x_{21} } \\ {\, \, \vdots } \\ {x_{n1} } \end{array}\right), X_2=\left(\begin{array}{l} {x_{12} } \\ {x_{22} } \\ {\, \, \vdots } \\ {x_{n2} } \end{array}\right), \ldots, X_n=\left(\begin{array}{l} {x_{1n} } \\ {x_{2n} } \\ {\, \, \vdots } \\ {x_{nn} } \end{array}\right),\] \[Y(t)=\left\{X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\right\}\]
Матрица \(Y(t)\) состоит из столбцов \[X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t).\]
Рассмотрим систему \[\dot{X}=A(t)X,\quad X\in R^{n},\] и пусть \(X_{1} ,\; X_{2} ,\ldots ,X_{n} \) - решения этой системы. Имеем представление \[\dot{x}_{ik} =\sum _{j=1}^{n}a_{ij} (t)x_{jk} ,\quad i=1,\; 2,\, \ldots ,\, n,\quad \; k=1,\; 2,\, \ldots ,\, n,\] что можно записать в матричной форме \[\begin{equation} \label{25}\dot{Y}=A(t)Y, \tag{25}\end{equation}\] так \(Y =\left\{X_{1} ,\; X_{2} ,\ldots ,X_{n} \right\}\) - решение матричного уравнения (\ref{25}).
\(\underline{Определение.}\) Вектор-функции \(X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\) линейно зависимы при \(\; t\in (r_{1} ,r_{2} )\), если \[\exists C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} :\quad \sum _{i=1}^{n}C_{i}^{2} \ne 0\quad \sum _{i=1}^{n}C_{i} X_{i}(t) =0.\]
Если из \[\sum _{i=1}^{n}C_{i} X_{i} =0\Rightarrow \forall i=1,\, 2,\, \ldots ,\, n\quad C_{i} =0,\] тогда вектор-функции \(X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\) линейно независимы.
Обозначим \[C=\left(\begin{array}{l} {C_{1} } \\ {C_{2} } \\ {\, \, \vdots } \\ {C_{n} } \end{array}\right),\] тогда \[Y(t)C=\sum _{i=1}^{n}C_{i} X_{i} (t).\]
\(\textbf {Определителем Вронского}\) системы вектор-функций \[X_{1} (t)\in R^{n} ,\; X_{2} (t)\in R^{n} ,\ldots ,X_{n} (t)\in R^{n}\] называют \(W(t)=\det Y(t)\).
\(\textbf{1.}\) Если \(n\)-мерные вектор-функции \(X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\) линейно зависимы при \(\; t\in (r_{1} ,r_{2} )\), то определитель Вронского этой системы нулевой, т.е. \(W(t)=0\quad t\in (r_{1} ,r_{2} )\).
\(\textbf{2.}\) Если же функции \(X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\) - решения однородной системы \(\dot{X}=A(t)X,\quad X\in R^{n} \) и линейно независимы, то \(W(t)\ne 0\quad t\in (r_{1} ,r_{2} )\).
Функции \(X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\) - линейно зависимы. Тогда \(\forall t\in (r_{1} ,r_{2} )\; \exists C=(C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} ):\quad \sum _{i=1}^{n}C_{i}^{2} \ne 0\quad Y(t)C=0\). Посмотрим на равенство \(Y(t)C=0\) как на линейную однородную систему уравнений относительно вектора \(C\). Так как \(C\) - ненулевой вектор, то наряду с решением системы \(X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\), существует тривиальное решение \(X_{i} \equiv 0\quad \; i=\overline{1,n}\). По теореме из курса алгебры \(\det Y(t)=0\). Получаем, что \(\forall t\in (r_{1} ,r_{2} )\quad W(t)=\det Y(t)=0\). Утверждение 1 доказано.
Докажем от противного. Предположим, что \(\exists t_{0} \in (r_{1} ,r_{2} )\quad \; W(t_{0} )=0\). Так как у линейной однородной системы уравнений \(Y(t_{0} )C=0\), у этой системы нулевой главный определитель, т. е. \(W(t_{0} )=\det Y(t_{0} )=0\), тогда \(\exists \bar{C}=(\bar{C}_{1} ,\bar{C}_{2} ,\ldots ,\bar{C}_{n} )\ne 0\) - нетривиальное решение, получаем \(Y(t_0)\bar{C}=0\). Так как линейная комбинация решений - тоже решение, т. е. \[X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\] - система решений системы \(\dot{X}=A(t)X\) (или решение уравнения \(Y(t)C=0\)), значит \(X(t)=Y(t)\bar{C}=\sum _{i=1}^{n}\bar{C}_{i} X_{i} \) - решение \(\dot{X}=A(t)\cdot X,\quad X\in R^{n} \).
Задача Коши: \[\left\{\begin{array}{l} {\dot{X}=A(t)X} \\ {X(t_{0} )=Y(t_{0} )\bar{C}} \end{array}\right. \]Здесь \(t_{0} \in (r_{1} ,r_{2} )\) \(X(t_{0} )=Y(t_{0} )\bar{C}\) - начальное условие задачи Коши. Но и тривиальное решение \(X\equiv 0\) удовлетворяет условию \(X(t_0)=0\).
В силу однозначности решения задачи Коши \(t\in (r_{1} ,r_{2} )\) \(X(t)=Y(t)\bar{C}\equiv 0\), то есть \(\sum _{i=1}^{n}\bar{C}_{i} X_{i} \equiv 0\), отсюда \(X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\) - линейно зависимы, получили противоречие с линейной независимостью \(X_{1} (t),\; X_{2} (t),\ldots ,X_{n} (t)\). Утверждение 2 доказано.