\(\textbf{Линейным разностным уравнением n-го порядка с переменными коэффициентами}\) называется уравнение \[\begin{equation}\label{5} x(t+n) + a_1(t)x(t+n-1) + ... + a_n(t)x(t) = b(t), \tag{5} \end{equation}\] где \(a_1(t), ..., a_n(t), b(t) - \) некоторые функции от номера \(t\)
\(a_n(t) \ne 0,\;t \in N\)
Если \(b(t) \equiv_{t \in N} 0\), то уравнение называется \(\textbf {однородным}.\)
Если коэффициенты \(a_1,...a_n\) не зависят от \(t\), то уравнение называется линейным разностным уравнение \(\textbf {с постоянными коэффициентами}\).
Если в уравнении (\ref{5}) правая часть \(b(t)\) имеет вид \[b(t) = \alpha_1b_1(t) + \alpha_2b_2(t),\] где \(\alpha_1\;и\;\alpha_2\) - постоянные числа, и известно, что \(\varphi_1(t)\) есть частное решение уравнения (\ref{5})с правой частью \(b_1(t)\), а \(\varphi_2(t)\) - частное решение уравнения (\ref{5}) с правой частью \(b_2(t)\), то \(\varphi(t) = \alpha_1\varphi_1(t) + \alpha_2\varphi_2(t)\) является частным решением исходного уравнения (\ref{5}).
\(x(t+n) + a_1(t)x(t+n-1) +...+ a_n(t)x(t) = 0\)
1. Всякая система решений \(\varphi_1(t),..., \varphi_n(t)\) с линейно независимыми начальными значениями \[ \begin{pmatrix}\varphi_1(1)\\\varphi_1(2)\\\vdots\\\varphi_1(n)\end{pmatrix} ,\;\begin{pmatrix}\varphi_2(1)\\\varphi_2(2)\\\vdots\\\varphi_2(n)\end{pmatrix},\;\cdots, \;\begin{pmatrix}\varphi_n(1)\\\varphi_n(2)\\\vdots\\\varphi_n(n)\end{pmatrix}\] образует фундаментальную систему решений;
2. Если \(\varphi_1(t),..., \varphi_n(t)\) - какая-нибудь фундаментальная система решений, то любое решение \(\varphi(t)\) уравнения может быть единственным образом представлено в виде их линейной комбинации \[\varphi(t) = \lambda_1\varphi_1(t) +...+ \lambda_n\varphi_n(t)\] с некоторыми числовыми коэффициентами \(C_1,..., C_n\), определяемыми из начальных условий.
\(x(t+n) + a_1(t)x(t+n-1) +...+ a_n(t)x(t) = b(t)\)
Пусть \(x = x_{част}(t)\) - некоторое решение неоднородного уравнения, а \(\varphi_1(t),..., \varphi_n(t)\) - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения.
Тогда любое решение \(\varphi(t)\) уравнения может быть единственным образом представлено в виде \[\varphi(t) = x_{част}(t) + \lambda_1\varphi_1(t) +...+\lambda_n\varphi_n(t),\] где \(C_1,..., C_n\) - постоянные, определяемые из начальных условий.
Для линейного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами \[\begin{equation}\label{6} x(t+n) + a_1x(t+n-1) +...+a_nx(t) = 0 \tag{6} \end{equation} \] уравнение \[\begin{equation}\label{7} \lambda^n +a_1\lambda^{n-1} +...+ a_n = 0 \tag{7} \end{equation} \] называется \(\textbf {характеристическим}.\)
О построениее фундаментальной системы решений линейного однородного
уравнения по корням характеристического уравнения
Если каждому вещественному корню \(\lambda\) кратности \(k\) поставить в соответствие фукнции \[\lambda_t, t\lambda^t,..., t^{t-1}\lambda^t,\] а каждому комлексному корню \(\lambda = r(\cos\omega + i\sin\omega)\) кратности \(k\) и сопряженному корню \(\bar{\lambda} = r(\cos\omega - i\sin\omega)\) поставить в соответствие функции \[r^t\cos\omega t,\;\;tr^t\cos\omega t,\;\;...,\;\;t_{k-1}r^t\cos\omega t,\] \[r^t\sin\omega t,\;\;tr^t\sin\omega t,\;\;...,\;\;t_{k-1}r^t\sin\omega t,\] то объединение всех таких функций будет одной из фундаментальных систем решений данного уравнения.
\[x(t+2) -3x(t+1) + 2x(t) = 0\] Это линейное однородное разностное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.\[\lambda^2 -3\lambda + 2 = 0\] \[\lambda_1 = 1,\;\;\lambda_2 = 2,\;\;\; ФСР: \varphi_1(t) = 1^t \equiv 1,\;\; \varphi_2(t) = 2^t,\] общее решение \(x(t) = C_1 + C_22^t.\)
Геометрическая прогрессия \(x(t+1) - qx(t) = 0\) \[\lambda - q = 0,\;\; \lambda = q,\;\; ФСР: \varphi_1(t) = q^t,\] Общее решение: \(x(t) = Cq^t.\)
Начальное условие \(x(1) = a_1,\) тогда \(a_1 = Cq,\;\; C = \frac{a_1}{q}.\)
Формула общего члена геометрической прогрессии: \(x(t) = a_1q^{t-1}\).
\[x(t+2) + 2x(t+1) +2x(t) = 0\] \[\lambda^2 + 2\lambda + 2 = 0\] \[\lambda_{1,2} = -1 \pm i,\;\;r = \sqrt{2},\;\;\omega = \frac{3\pi}{4}\] \[ФСР:\;\varphi_1(t) = (\sqrt{2})^t\cos\frac{3\pi}{4}t,\;\;\varphi_2(t) = (\sqrt{2})^t\sin\frac{3\pi}{4}t\] общее решение \(x(t) = C_1(\sqrt{2})^t\cos\frac{3\pi}{4}t + C_2(\sqrt{2})^t\sin\frac{3\pi}{4}t.\)
\[x(t+2) + 2x(t+1) + x(t) = 0\] \[\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 0\] \[\lambda = -1\;кратности\;2\;\;ФСР:\;\varphi_1(t) = (-1)^t,\;\;\varphi_2(t) = t(-1)^t,\] общее решение \(x(t) = C_1(-1)^t + C_2t(-1)^t.\)
Числа Фибоначчи \[x(t+2) = x(t+1) + x(t),\;\;x(1) = 1,\;x(2) = 1\] \[\lambda^2 - \lambda - 1 = 0,\;\;\lambda_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2},\] общее решение \(x(t) = C_1(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^t + C_2(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^t\)
Система для определения \(C_1,\;C_2:\) \[\begin{cases}\begin{eqnarray}x(1) & = & 1 & = & C_1\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + C_2\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \\ x(2) & = & 1 & = & C_1(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^2 + C_2(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^2, \end{eqnarray}\end{cases}\] \[C_1 = \frac{1}{\sqrt{5}},\;\;C_2 = -\frac{1}{\sqrt{5}}.\]
О построении частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида
Если правая часть линейного неоднородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами \[x(t+n) + a_1(t)x(t+n-1)+...+ a_n(t)x(t) = b(t)\] имеет вид \[b(t) = p^t(P(t)\cos\omega t + Q(t)\sin\omega t),\] где \(P(t)\;и\;Q(t)\) - многочлены степени не больше \(m\), то при \(\omega \ne 0\) существует решение вида: \[x_{част}(t) = t^kp^t(R(t)\cos\omega t + T(t)\sin\omega t),\] где \(R(t)\;и\;T(t)\) - многочлены степени не больше \(m\), а \(k\) - кратность корня \(\lambda = p(\cos\omega + i\sin\omega)\) в характеристическом уравнении(если такого корня нет, то \(k = 0\)).
При \(\omega = 0,\) т.е. при \[b(t) = p^tP(t)\] существует решение вида \[x_{част}(t) = t^kp^tR(t),\] где \(R(t)\) - многочлен степени не больше \(m\), а \(k\) - кратность корня (если такого корня нет то \(k = 0\)).
Из Слойера.
Решение \(\varphi(t)\) разностного уравнения т-го порядка называется \(\textbf {устойчивым}\), если для любого \( \varepsilon > 0\) существует такое \( \delta > 0\), что для всех решений \( \psi(t)\), удовлетворяющих условиям \[|\psi(1) - \varphi(1)| < \delta,\] \[|\psi(2) - \varphi(2)| < \delta,\] \[\cdots\] \[|\psi(n) - \varphi(n)| < \delta,\] выполняется неравенство \[|\psi(t) - \varphi(t)| < \varepsilon\] при всех \(t \in N.\)
Решение называется \(\textbf {асимптотически устойчивым}\), если оно устойчиво, и дополнительно \[ \lim_{t \rightarrow \infty }|\psi(t) - \varphi(t)| = 0.\]
Критерий устойчивости решений линейных разностных уравнений с постоянными коэффциентами
Все решения уравнения \[x(t+n) + a_1(t)x(t+n-1)+...+a_n(t)x(t) = b(t)\] независимо от \(b(t):\)
1) асимптотически устойчивы, если \[|\lambda| < 1\] для всех корней \(\lambda\) характеристического уравнения;
2) устойчивы, но не асимптотически при \[|\lambda | \leq 1\] для всех корней, причем корни \(|\lambda| = 1\) имеют кратность 1;
3) неустойчивы во всех остальных случаях.
Достаточное устовие существования устойчивого положения равновесия нелинейного уравнения
\[x(t+1) = V(x(t)).\]
Если функция \(V: R \rightarrow R\) непрерывно дифференцируема \(k\) раз, где \( k \geq 1,\) и \[|V'(x)| \leq q < 1\] при всех \(X \in R\), то уравнение \(x(t+1) = V(x(t))\) имеет единственное положение равновесия \[x^* = V(x^*),\] причем \[x^* = \lim _{t \rightarrow +\infty}x(t)\] независимо от \(x(0)\), и \[|x(t) - x^*| < q^t|x(0) - x^*|.\]